第六章 格林函数法ppt课件.ppt

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1、第六章格林函数法本章主要研究基本解和格林函数及其在边值问题中的应用，并介绍初值问题的相关解法。6.1格林公式三维问题高斯公式其中n为S的外法线方向。（1）在高斯公式中取整理后得于是得到第一格林公式（2）得同理，有（3）将上二式两边相减得第二格林公式（4）几种常用的形式在公式（4）中若令△v=δ(x,y,z)，并在边界上取v=0，可得若令u=1，可得平面格林公式可以写成对弧长积分的形式（5）（6）其中n=(n1,n2)为边界曲线C的单位外法线向量。二维问题由公式（6）可推导出，平面第二格林公式（7）（8）其中n为边界曲线C的外法线向量。边界曲线弧长与坐标之间，有如下

2、微分关系推导细节公式（6）左边等于设公式（6）右边等于如是证得公式（8）。推导细节几种常用的形式在公式（8）中若令△v=δ(x,y)，并在边界上取v=0，可得若令u=1，可得6.2基本解定义设L为线性微分算子，称方程LU=δ(M-M0)的解U(M;M0)为方程LU=0或LU=f(M)的解本解，其中M为区域Ω内任意一点，M0为Ω中的任意一个固定点。三维拉普拉斯方程的基本解由基本解定义可知，基本解U应满足方程以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与θ,φ无关，方程化为其中代表M点到M0的距离。求解常微分方程可得（9）考虑到基本解在r=0处应具有奇异性，取A=0。为进

3、一步确定B值，对式（9）两边进行体积分得利用格林公式，有所以最后得三维拉普拉斯方程的基本解取边界S为球面，其半径为r，则有练习利用三维调和方程的基本解，试求三维双调和方程的基本解。解以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与θ,φ无关。若U满足（a）则必满足设未知函数表达式为其中A为待定系数。将表达式代入方程（a），可得于是，最后得到双调和方程的基本解二维拉普拉斯方程的基本解基本解U应满足方程以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与θ无关，方程化为其中代表M点到M0的距离。求解常微分方程得（10）考虑到基本解在r=0处应具有奇异性，取A=0。为进一步确定B值，对

4、式（a）两边进行面积分得利用格林公式，有所以于是得二维拉普拉斯方程的基本解取边界C为圆周，其半径为r，则有定义满足定解问题的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中S为区域Ω的边界。6.3格林函数三维格林函数的定义类似可定义三维拉普拉斯方程第三边值问题的格林函数。满足定解问题的函数称为拉普拉斯方程第三边值问题的格林函数，其中S为区域Ω的边界。但是不可定义拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。若定义满足的函数称为拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。证明进行体积分并利用格林公式，可得易知齐次边界条件无法满足，上述定义不能成立，证毕。二维格林函数的定义定义满足定解

5、问题的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中B为平面区域D的边界。定理格林函数具有对称性，即G(M2;M1)=G(M1;M2)这里点M1的坐标是(x1,y1)，点M2的坐标是(x2,y2)。证明格林函数对称性首先定义两个格林函数其次根据格林公式格林函数的求法将格林函数看作是基本解与调和函数之和，即相应的方程为及基本解在前面已经求出，有界区域内调和函数的求法在下一节介绍。假设格林函数已经求出，下面研究三维泊松方程第一边值问题解的积分表示。若u满足如下定解问题则解u的积分公式为其中M(x,y,z)为积分变量。三维问题解的积分公式证明类似地可以证明二维拉普拉斯

6、方程第一边值问题解u的积分公式为二维问题解的积分公式其中点M(x,y)为积分变量。6.4位势方程第一边值问题6.4.1半空间的格林函数半空间的格林函数满足其中点M0(x0,y0,z0)的坐标分量z0>0。zyxM0(x0,y0,z0)M1(x0,y0,-z0)MM1是M0关于z=0平面的对称点，如右图所示。O此式右端第一项是基本解，第二项在上半空间内满足拉普拉斯方程，显然格林函数满足齐次边界条件（z=0）。设格林函数为基本解与调和函数之和利用半空间格林函数给出定解问题解u的积分表达式。应用举例利用相应积分公式代入可得将格林函数及其的方向导数解6.4.2半平面上的格

7、林函数半平面的格林函数满足其中点M0(x0,y0)的坐标y0>0。yxM0(x0,y0)M1(x0,-y0)MM1是M0关于y=0直线的对称点，如右图所示。O此式右端第一项是基本解，第二项为上半平面内的调和函数，显然格林函数满足齐次边界条件（y=0）。设格林函数为基本解与调和函数之和利用格林函数，求半平面上拉普拉斯方程应用举例狄利克雷问题的积分形式的解。解首先计算边界上的方向导数代入相应积分公式最后解得6.4.3球域上的格林函数在以原点为球心，以R为半径的球域内的格林函数满足其中点M0(ρ0,θ0,φ0)的坐标ρ0

8、ρ=R球面