第8章格林函数法ppt课件.ppt

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1、格林函数法1Green函数（点源响应函数）：一个点源在一定的边界and/or初始条件下所产生的场泊松方程的Green函数Green公式具有连续一阶导数，而在T中具有连续二阶导数。应用矢量分析高斯定理2——第二Green公式同理有——第一Green公式两式相减即：3Poisson方程：考虑非齐次边值问题TnO第一边值问题或狄里希利问题第二边值问题或诺依曼问题第三边值问题4研究点源所产生的场位于单位强度正点源在产生的场，满足：在T中积分：5形式上令!!将左边化为面积分：6——泊松方程的基本积分公式•xyz移到左边，得7注意：在具体计

2、算包含的奇点于内的积分时，奇点附近的积分应以包围该奇点的面积分（*）代替上式中v未知，又需要同时知道在边界处之值！尚不能用于解决边值问题！8（1）第一类边界条件：（3）第三类边界条件：在边界上令(12.1.14)(12.1.13)9以有：(1)-(2)(12.1.15)10（2）第二类边界条件：形式上令但解不存在。物理上，Laplace方程表示稳定的温度场分布，区域中有点源的存在，而又要求边界是绝热的，这样的温度场是不可能稳定的。11广义Green函数对第二类边值问题定义广义Green函数：其中V是区域的体积。(Followsi

3、sfromH.W.Wyld,Mathematicalmethodsforphysics,p.274)GivenonS,…….二类边值的另种处理方法，请加入，——2003.5.28三维12二维其中A是区域的面积。13物理上，要求热源的分布：源和汇抵消，这样才能在边界绝热的情况下，温度稳定地分布。(12.1.13)及(12.1.15)理解上的困难！14Green函数的对称性质：证明：Green公式15取分别满足16得17因此右边利用边界条件18第三类边值问题的解：这样，解的物理意义就明确了：（1）第一项，分布源的贡献；（2）第二项，

4、边界的贡献。因此，问题变成如何求Green函数！利用对称性质：可以得到：第一类边值问题的解：(12.1.19)(12.1.20)19用电像法求Green函数（一）无限空间的Green函数，基本解无界空间的Green函数称为方程的基本解。对有限空间，一般令其中：G0为方程的基本解，含有奇点，而不满足边界条件：20G1在区域正则，无奇点，并满足相应边界条件：G0容易求得，而G1一般用级数法求得，因不包含奇点，级数有比较好的收敛性质。21Laplace算子的基本解：即解方程三维描述点电荷所产生的场二维描述线电荷密度所产生的场22球内及

5、圆内泊松方程第一边值问题的格林函数可表为有限形式接地球内的电势问题（二）电镜像法求Green函数oPM••23电像法的基本思想：用一设想的等效点电荷代替所有的感应电荷，于是可求得的类似的有限形式的解。等效点电荷称为的电像。电像电量记为q,位于若选择使满足则oPM••24从而取则球面上总电势为2526解析处理：27在球面上这应与无关28两式联立解出从而亦易见对称性29圆内问题30例1球内拉氏方程第一边值问题解3132利用消去分子中的此即（10.3.36）式33同理34——球的泊松积分35例2上半空间Laplace第一边值问题的Gr

6、een函数。解：Green函数满足定解问题xyzO•••电像在363738——上半空间的泊松积分39例3在圆内求解答案：40例4在半平面求解答案：41含时Green函数与纯空间的Green函数不同点：时间变量不能简单对调。42解：43对称关系将（12.3.1）中44在G问题中：并用对称性45G×(12.3.13)-u×(12.3.16),对积分，并利用Green公式及初值，得46其中计及47从而第二个积分在上限的值为零。于是令G满足相应齐次边界条件，可得相应解的积分公式48输运问题49解50用冲量定理法求含时Green函数例1求

7、解一维无界空间的受迫振动解：51解为达朗贝尔公式52例2求解一维受迫振动53解：G满足545556对的积分仅n=1的项非零，等于l/2.57例3一维无界空间的有源输运解：G满足5859606162例4一维半无界空间的有源输运。第一齐次边值解：作奇延拓63由例3在第一积分中，令64这样6566例5一维半无界空间的有源输运。第二齐次边值解：作偶延拓67在第一积分中，令6869TheEnd70