数字信号处理：离散傅里叶变换(dft)

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1、本章主要内容离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的基本性质频率域采样离散傅里叶变换的应用举例离散傅里叶变换(DFT)DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样(时域和频域都是离散化的有限点长的序列)。DFT变换的意义：开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进行处理，增加了数字信号处理的灵活性。DFT具有多种快速算法(FFT)，实现了信号的实时处理和设备的简化。离散傅里叶变换(DFT)3.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为:X(

2、k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)为：3.1离散傅里叶变换的定义…旋转因子：N为变换区间的长度，N≥M…Ik=0IDFT[X(k)]唯一性的证明由于：所以，在变换区间上满足下式：IDFT[X(k)]=x(n),0≤n≤N-1离散傅里叶逆变换是唯一的。3.1离散傅里叶变换的定义M为整数[例]序列x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。解:(1)设变换区间N=8，则：(2)设变换区间N=16，则3.1离散傅里叶变换的定义3结论：离散傅立叶变换(DFT)结果与变换区间长度N有关。3.1.2DFT和Z

3、变换的关系设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式3.1离散傅里叶变换的定义eDFT的物理意义：(1)x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上N点等间隔采样。(2)X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejw)在区间[0,2]上的N点等间隔采样,采样间隔为2/N。(3)变换区间长度N不同，变换结果不同，N确定后，X(k)与x(n)是一一对应的。(4)当N足够大时，

4、X(k)

5、的包络可逼近

6、X(ejw)

7、曲线；(5)

8、X(k)

9、表示wk=2k/N频点的幅度谱线。3.1

10、离散傅里叶变换的定义3.1.3DFT的隐含周期性在DFT变换的定义对中，x(n)与X(k)均为有限长序列。(1)旋转因子WknN的周期性(周期为N)(2)X(k)隐含的周期性(周期为N)(3)序列x(n)隐含的周期性(周期为N)3.1离散傅里叶变换的定义K,m,N均为整数x(n+mN)=x(n)任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即:一般定义周期序列中从n=0到N-1的第一个周期为的主值区间，而主值区间上的序列称为的主值序列。总结：是x(n)

11、周期延拓序列x(n)是主值序列3.1离散傅里叶变换的定义•0n•••••••••••••••••••N-1•••••0nN-1为了以后叙述方便，可用如下形式表示：((n))N表示n对N求余，即如果n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M为整数，则：((n))N=n1[例]：设N＝5，则有：3.1离散傅里叶变换的定义x((n))N表示：x(n)以N为周期的周期延拓序列。DFT和周期序列的DFS的关系设x(n)的长度为N，且，则周期序列的离散傅立叶级数表示式：上式中：说明：有限长序列x(n)的离散傅立叶变换X(k)

12、，正好是x(n)的周期延拓序列的离散傅立叶级数系数的主值序列3.1离散傅里叶变换的定义注意：是一周期序列总结DFTFTZT单位圆上的N点等间隔采样[0,2]上的N点等间隔采样单位圆上的Z变换,Z=ejw=DFS[]=DFS[x((n))N]X(k)=RN(n)=X((k))N[例1]：若N=5，x(n)=R4(n)，画出x((n))N图形。3.1离散傅里叶变换的定义nx(n)101234nx((n))510123456789-3-2-4-5[例2]：已知长度为N的一个有限长序列x(n)，其N点DFT为X(

13、k)。另一个长度为2N的序列y(n)定义为：y(n)=x(0.5n)，n为偶数；0，n为奇数；试用X(k)表示y(n)的2N点离散傅立叶变换Y(k)。解：已知3.1离散傅里叶变换的定义令：则：3.2.1线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，取：N=max[N1,N2]，则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bx2(k）,0≤k≤N-1其中：X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的

14、N点DFT。§3.2离散傅立叶变换（DFT）的基本性质3.2.2循环移位性质1.序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为y(n)=x((n+m))NRN(N)(1)序列y(n)由x(n)以N为周期进行周期延拓而得到(n)=x((n))N(2)再将(n)左移m位，得到：(n＋m);(3)取(n＋m)的主值区间得到有限长序列x(n)的循环移位y(n)§3.2离散傅立叶变换（DFT）的