在错误中感悟在辨析中深化.doc

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1、概率教学要在错误中感悟，在辨析中深化浙江省上虞中学（312300）谢全苗作为在现代社会中应用越来越广的概率，是高中数学新教材中新增的教学内容，但在概率教学中常出现学生一听就懂，一做就错的情况，纠其原因，除了概率概念容易混淆，有的概率计算不但容易出错，而且有时也确是相当困难又富有技巧外，就是新教材刚刚起步，教师自己也与学生一样，刚刚接触这一内容，缺少的不仅仅是经验与对教学内容的整体把握，而且还有怎样有效地去指导学生解题的思想方法，特别是对学生容易混淆与出错的地方、问题了解不够，知之甚少，因而对重点把握有余，而对

2、难点常常认识不足、把握不准．本文试图就教学与学生在学习中的几个容易混淆的概念与问题进行归类辨析，以让学生能在“误中悟”．一．是Ｉ的子集与还是不是Ｉ的子集？在概率教学中让学生第一个碰到的概率公式是，这是一个等可能事件的概率公式，其中是随机事件A包含的基本事件个数，是试验的基本事件总数。可以说是所有概率公式中最简单的，但真要弄清却也不容易。这里理解的难点是：在一次试验中，等可能出现个结果组成一个集合I，各个基本事件均对应于I的含有一个元素的子集，包含个结果的事件A对应于I的含有个元素的子集。例１　某人有五把钥匙，

3、其中有一把是办公室的钥匙，但他忘了是哪一把．于是他便将五把钥匙逐把不重复试开．问恰好第三次打开办公室门的概率是多少？错解：因“五把钥匙逐把不重复试开”相当于五把钥匙在五个位置上的全排列，即，“第三次打开”了，从实际出发，后面就不用再试开了，即只需考虑第一、第二次的情形，则，所以　．剖析：错解原因是在考虑题目条件“第三次打开”时，忽视了应是的“一部分”，即计算时，“包含个结果的事件对应于Ｉ的含有个元素的子集”，也就是定义中的“是指事件包含的结果数”．不妨用表示五把钥匙，是能打开办公室门的钥匙，则中的元素应是在第

4、三个位置的五个字母的排列，用不完全列举法写出：，而的意义是事件为在第三个位置的三个字母的排列，即只考虑第一、第二次的情形，所以不是的“一部分”．的“一部分”应是，所以这里的错误是计算时，混淆是Ｉ的子集与不是Ｉ的子集出错。正解；二．是“长度”还是“角度”？同样在一次试验中只有一个事件A，但在几何概型中，事件A则要理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积、或体积）成正比率，而与A的位置无关。满足以上条件的试验称为几何概型。事件A概率为，其中区域的几何度量，子区域的几何度量。这里理解的难

5、点是：在具体问题中如何正确确定其几何度量是什么？例2等腰中，在内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求的概率。错解：记：“”为事件Ｅ，由于点M随机地落在线段AB上，故可以认为点M落在线段AB上任一点是等可能的，可将线段AB看做区域D。在线段AB上截取，当点M位于线段内时，，故线段即为区域。于是，即的概率为。剖析：这里是将“射线CM与线段AB交于点M”误看成了“在AB上任取一点M”，从而导致几何度量判断的失误。对此，可通过几何画板给出两种不同情形下的图形，在图（1）中，射线CM在内部均匀分布，但射线CM与线

6、段AB的交点M在AB上并不均匀分布，呈现出中间密两边疏的特征，而图（2）中，点M在线段AB上均匀分布，但在内部，射线CM的分布并不均匀，呈现出中间疏而两边密的特征。正解：记：“”为事件Ｅ，由于射线CM随机地落在内部，故可以认为射线CM随机地落在内部是等可能的，可以将内部看做区域D，作射线，使，则，扇形内部即为区域。于是，，即的概率为。这里，正解与错解的区别在于等可能的对象即几何度量不同，那么，如何在具体问题中正确确定其几何度量是什么？一个简单的方法是：（1）当考察对象等可能分布在一维区域（即活动的范围在线段上

7、），则选择线段长度作为区域的几何度量；（2）当考察对象等可能分布在二维区域（即活动的范围在平面区域内），如考察的对象为点，且与平面图形的面积有关时，则选择面积作为区域的几何度量；（3）当考察对象等可能分布虽也在二维区域（即活动的范围在平面区域内），但如果考察的对象为直线的转动，即与平面图形的角度有关时，则选择角度作为区域的几何度量；（4）当考察对象等可能分布在三维区域（即活动的范围在空间区域内），如考察的对象为点，且与平面图形的体积有关时，则选择体积作为区域的几何度量；（5）当考察对象等可能分布虽也在三维区域

8、（即活动的范围在空面区域内），但如果考察的对象为直线的转动，即与空间图形的角度有关时，则选择角度作为区域的几何度量。三．是“互斥”还是“独立”？前面是在一次试验中只有一个事件A情况，要是在一次试验中有几个事件，为了运算，我们就要弄清各事件之间的关系，在这些关系中最难的要算是在具体的问题中去弄清是“互斥”还是“独立”？例3甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概