高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案含解析新人教a版选修2

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1、3.1.1　数系的扩充和复数的概念[学习目标]1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．[知识链接]　为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？答　设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．[预习导引]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如

2、a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a＋bi，a，b∈R)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.要点一　复数的概念例1　请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部

3、为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．规律方法　复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪演练1　已知下列命题：①复数a＋bi不是实数；②当z∈C时，z2≥0；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.其中真命题的个数是________．答案　0解析　根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假

4、命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②是假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得，解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立．要点二　复数的分类例2　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0

5、，解得m＝0或m＝－2.规律方法　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪演练2　实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解　由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.(3)当时，z是纯虚数，解得k＝4.(4)当时，z＝0，解得k＝－1.要点三　两个复数相等例3　(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，

6、求实数x、y的值．(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．解　(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得或(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，∴解得a＝11或a＝－.规律方法　两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪演练3　已知x，y均是实数，且满足(x＋y)＋(y－1)i＝2x＋3y＋(2y＋1)i，求x与y.解　由复数相等的充要条件得x＋y＝2x＋3y且y－1＝2y＋1，解得x＝4，y＝－2.1．已知复数z＝a2－(2－b)i

7、的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)A.，1B．，5C．±，5D．±，1答案　C解析　令，得a＝±，b＝5.2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是(　　)A．±1B．±iC．±iD．±2i答案　C3．下列命题正确的是(　　)A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数