2018年秋高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念学案新人教A版选修2

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1、3.1.1　数系的扩充和复数的概念学习目标：1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi

2、a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示][基础自测]1．思考辨析(1)若a，b为实数，则z＝a

3、＋bi为虚数．(　　)(2)复数i的实部不存在，虚部为0.(　　)(3)bi是纯虚数．(　　)(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．复数i－2的虚部是(　　)A．i　　B．－2C．1D．2C　[i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　)A．x＝1，y＝－1B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝0A　[∵(x＋y)i＝x－1，∴∴x＝1，y＝－1.]4．在下列数中，属于虚数的是________，属于纯虚数的是_____

4、___.【导学号：31062191】0,1＋i，πi，＋2i，－i，i.[解析]　根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．[答案]　1＋i，πi，＋2i，－i，i　πi，i[合作探究·攻重难]复数的概念及分类　实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？[解]　①当x满足即x＝5时，z是实数．②当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．③当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．[规律方法]　复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部

5、应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0.[跟踪训练]1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________.【导学号：31062192】[解析]　(1)由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3.[答案]　1或－32．实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；

6、③纯虚数；④零．[解]　由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.③当时，z是纯虚数，解得k＝4.④当时，z＝0，解得k＝－1.复数的相等的充要条件[探究问题]1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？提示：

7、若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0.　(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________．(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．[思路探究]　(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；(2)根据复数相等的充要条件求解．(1)－3　[∵z<0，∴，∴m＝－3.](2)设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－且2－＋3m＝0，所以m＝.母题探究：1.(变条件)若x＝

8、1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．[解]　由题意可知，1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－＋i.2．(变条件)若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围．[解]　由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0，故，解得.所以实数m的取值范围为.[规律方法]　复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，