高中数学 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念学案新人教a版

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1、3．1.1　数系的扩充和复数的概念学习目标　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一　复数的概念及代数表示思考　为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理　(1)复数①定义：把集合C＝{a＋bi

2、a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数

3、，其中i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．知识点二　两个复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi

4、a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.知识点三　复数的分类(1)复数(a＋bi，a，b∈R)(2)集合表示：1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　×　)2．复数z＝bi是纯虚数．(　×　)3．若两

5、个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　√　)类型一　复数的概念例1　(1)给出下列几个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．考点　复数的概念题点　复数的概念及分类答案　(1)C　(2)±，5解析　(1)令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确．②中2i－1的虚部应是2，故②不正确．④当a＝0时，ai

6、＝0为实数，故④不正确，∴只有③，⑤正确．(2)由题意知∴a＝±，b＝5.反思与感悟　(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1　下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；③实数集是复数集的真子集．其中正确说法的个数是

7、(　　)A．0B．1C．2D．3考点　复数的概念题点　复数的概念及分类答案　B解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误．对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.类型二　复数的分类例2　求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是(1)虚数；(2)纯虚数．考点　复数的概念题点　由复数的分类求未知数解　(1)复数z是虚数的充要条件是⇔m≠－3且m≠－2.∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚

8、数．(2)复数z是纯虚数的充要条件是⇔⇔m＝3.∴当m＝3时，复数z是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m为何值时，z为实数．解　由已知得，复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.复数z是实数的充要条件是⇔⇔m＝－2.∴当m＝－2时，复数z是实数．2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数．答案　3或－2解析　由题意知解得m＝3或－2.反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2　当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是(1)纯虚

9、数；(2)实数．考点　复数的分类题点　由复数的分类求未知数解　(1)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，则解得m＝4.(2)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，则解得m＝－2或m＝－3.类型三　复数相等例3　(1)已知x0是关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的实根，则m的值是________．考点　复数相等题点　由复数相等求参数答案　解析　由题意，得x－(2i－1)x0＋3m－i＝0，即(x＋x0＋3m)＋(－2x0－1)i＝0，由此得⇒m