高中数学 奥赛辅导精品第四讲 常见的初等函数

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1、第四讲常见的初等函数、二次函数知识、方法、技能常函数y=c，幂函数y=xα(α∈Q),指数函数y=ax,对数函数y=logax,三角函数（y=sinx,y=cosx,y=tanx等），反三角函数（y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等）是数学中最为基本的函数，我们把它们统称为基本初等函数.学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时，若绘出各基本初等函数的草图，往往能“一目了然”地获得问题的结果.绘制幂函数y=xα(α=m、n是互质的

2、整数)草图的一般步骤是：(1)根据指数α的大小判断函数图象在第一象限的情形如图　I-1-4-1.(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况①m,n均为奇数时，y=xα为奇函数，图象在一、三象限内关于原点中心对称.②m为偶数，n为奇数时Y=xα为偶函数，图象在一、二象限内关于y轴对称.③m为奇数，n为偶数时，y=xα既不是奇函数也不是偶函数，函数只在第一象限有图像.常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的，我们称之为初等函数.其中二次函数和形如y=x+的分式函数在高考和竞赛中具有尤为重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解

3、析式、值域的有关方法，并会用这些方法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况；会利用函数y=x+的性质求出一些分式函数的值域.赛题精讲例13个幂函数y=和y=的图象如图I—1—4—2：试写出各个函数的图象的对应编号.【思路分析】3个函数的定义域、值域、单调性都相同，具有类似的草图，仅从草图已无法区分这三者了.只能更为“精细”地考察和函数值的大小，不妨取x=2试一试.【略解】当x=2时，3个函数值分别为.因为y=为增函数，,x=2时，图象①的对应点纵坐标最大，图象③的对应点纵坐标最小，所以y=对应的图象依次为③，②，①.【评述】一般地，当α越大大时，幂函数

4、图像在x>1对应的部分越“高”.此外，本题方法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象.例2比较下列各题中两个值的大小：（1）；（2）（3）（4）log23与log23.1.【思路分析】（1）中两数有相同的指数－，故可将这两者看做同一函数的两个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小.【略解】（1）因为是（－∞，0）上的减函数，又所以.（2）因为（3）因为y=（4）因为y=log2x是（0，+∞）上的增函数，又3<3.1，所以log230.①a>1时，上

5、式等价于logax>1,即x>a.②0x>a.所以，当a>1时，函数定义域为（a,+∞）；而当01,则f(x)=yy是y的增函数.所以yy=1212只有惟一解y=12.即原方程有解例5比较下列各组数的大小：（1）sin48°,cos313°；（2）cos96°,sin96°,ta

6、n69°.【思路分析】比较两数大小的一种方法是将两数看成同一函数的两个函数值，然后利用函数单调性来比较；另一种方法是寻找某个中介量（如0，1）等.【略解】（1）cos313°=cos(360°－47°)=cos47°=sin43°tan45°=1所以cos96°

7、数的最小正周期：（1）y=tanx－cotx;（2）y=sin(cosx);（3）y=cos(sinx).【略解】（1）因为所以函数y=tanx－cotx的最小正周期T=.（2）因为sin(cos(x+2π))=sin(cosx)，所以2π是函数y=sin(cosx)的周期.设最小正周期为T，若0

8、y=sin(cosx)的最小正周期为2π.（3）因为cos(sin