《有关洛必达法则》word版

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1、洛必达法则若，，则称为的待定型。类似的待定型有：，，，，，，。，，，，，，下面的洛必达(Lhospital，1661一1704)法则，有助于我们求解这类待定型的极限．定理5.6若(1),在可导且，其中；(2)＝＝0；(3)＝，在直观上是不难理解的：两个无穷小量的比等于它们变化速度的比．则．证明补充定义＝＝0，则当时，用柯西中值定理＝＝，.当时，，故注1极限可以是有限数，也可以是或，结论仍成立。注2对，，定理条件作相应的改变后，结论仍成立。注3对，，定理条件作相应的改变后，结论仍成立。定理5.6证完。定理5.7若(1)，在可导，且，其中是某个实数；(2)＝＝0；(3)＝，则＝

2、.证明作变换，则＝＝＝＝＝证完。例1求解＝＝－例2求极限解1（罗比达法则）（因子分解）（罗比达法则）解2（无穷小代换）（罗比达法则）（罗比达法则）关于待定型，也有类似的洛必达法则．定理5.8若(1)，在可导且，其中；(2)＝＝；(3)，则＝思考：一个想法是用待定型的结果：而＝＝有人说则，得证。？？？另一个想法是用待定型的证明方法。但这时不可能补充定义和，使得柯西中值定理可以直接应用。我们尝试修改一下的证明方法。考虑＝第一项不好处理，考虑＝用柯西中值定理，考虑充分接近于的一点>，则于是＝（）＋（）在与之间第二项好处理，下面看第一项。－＝第二项在固定后可任意小(因)，问题在第一

3、项仍保留了的形式。重新考虑－＝＝＝－这样两项均可任意小。总结上述＝(－)＋（）定理5.8的证明不妨对的情形加以证明，的情形只需把证明略加修改即可。对任意(不妨设<1)，由假设知存在(不妨设)，当时，有在内取定，则对中任意，有＝，同时还有于是只要且，有＋＋≤＋。对固定的，由＝，知存在，只要，有<.取＝，则只要，就有<+=定理5.8证完。注同理可证当时待定型的洛必达法则.例4证明＝0，其中解用洛必达法则，有＝＝＝0根据函数极限与数列极限的关系，便得所要证的结果。其他类型的待定型，可化为上述两种待定型解决。待定型可化为或待定型.若，，则＝＝，待定型可化为待定型。若＝＝＋，则＝－＝

4、，待定型可化为待定型若＝1，＝，则＝，，待定型可化为待定型（同上）。例6求，其中.解这时待定型，可化为解决.＝＝＝＝0。在用洛必达法则求待定型时，应注意以下几点：（1）在或待定型中，不存在，不能断言不存在！例如＝但，极限不存在．（2）连续多次使用罗比达法则时，每次都要检查是否满足定理条件。只有待定型才能用洛必达法则，否定会引导到荒谬的结果．例如＝＝＝.（极限不存在且不是待定型）事实上＝＝1，（3）谁放分子，谁放分母是有讲究的，例如===¨,就不能得到任何结果。（4）极限存在的因子可先分离出来；（5）运用洛必达法则常结合无穷小代换。例1求解法1（罗比达法则，无穷小代换）（罗比

5、达法则）故解法2（无穷小代换）（罗比达法则，无穷小代换）故问题1下面的解法错在哪里？因为，则问题2下面的解法错在哪里？因为，则例2，且，。求。解问题3以下解法对否？例1求。解＝＝＝例3求极限.解例5证明＝0，其中。解用洛必达法则，有＝＝＝0，再用函数极限与数列极限的关系，便得所要的结果。