高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例优化训练 北师大版必修4

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1、2.7向量应用举例5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知点(a,2)(a＞0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为（）A.B.2-C.-1D.+1解析:指由点到直线距离公式得,∵,∴

2、a+1

3、=.又a>0,∴a=-1.答案:C2.已知三个力F1=（3，4），F2=（2，-5），F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0，则F3的坐标为（）A.(5,-1)B.(-5,1)C.(-1,5)D.(1,-5)解析：由题设F1+F2+F3=0，得（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），即∴F3=(-5,1).答案:B3.已知两个力F1和F2的夹角是直角，如图2

4、-7-1所示，且已知它们的合力F与F1的夹角是60°，

5、F

6、=10N，求F1和F2的大小.图2-7-1解：

7、F1

8、=

9、F

10、cos60°=10×=5N，

11、F2

12、=

13、F

14、sin60°=10×=5N，∴F1的大小为5N，F2的大小为5N.4.如图2-7-2所示，一艘船从A点出发以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-7-2解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行的速度.在Rt△ABC中，

15、

16、=2，

17、

18、=2，所以

19、

20、==4.因为

21、tan∠CAB==∠CAB=60°.所以，船的实际航行速度的大小为4km/h，方向与水流速间的夹角为60°.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列向量中，是直线y=2的法向量的是()A.n=（0，1）B.n=（-1，0）C.n=（1，1）D.n=（-1，-1）解析：直线y=2的一个方向向量为（-1,0),故其法向量为与（-1,0)垂直的向量.答案:A2.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤，试用向量知识加以解释.解：设小孩的体重为G，两胳膊受力分别为F1、F2，且F1=F2，两胳膊的夹角为θ，胳膊受力分析如右图(不记其他因素产生的力)

22、，不难建立向量模型：

23、F1

24、=,θ∈［0,π］,当θ=0时，

25、F1

26、=;当θ=时，

27、F1

28、=

29、G

30、；又∈(0,)时，

31、F1

32、单调递增，故当θ∈(0,)时,F1∈(,

33、G

34、),当θ∈(,π)时，

35、F1

36、>

37、G

38、.此时，欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向.解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.设=-a,=-2a.∵+=,∴=v-a.这就是感到由正北方向吹来的风速.∵+=,∴=v

39、-2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知∠PBO=45°，PA⊥BO，BA=AO，可知△POB为等腰直角三角形，∴PO=PB=a，即

40、v

41、=a.∴实际风速是a的西北风.4.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1和F2的合力F对质点所做的功.解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1·=(3,4)·（-13，-15）=-99（焦耳）.W2=F2·=（6，-5）（-13，-15）=-3（焦耳）

42、.（2）W=F·AB=（F1+F2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=-102（焦耳）.5.如图2-7-3所示，有两条相交成60°的直线xx1、yy1的交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上，起初甲位于离O点3km的A处，乙位于离O点1km的B处.后来两个人同时用每小时4km的速度，甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动(如图2-7-4所示，三角形中有如下结论：b2=a2+c2-2accosB).试求：图2-7-3图2-7-4(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?解：(1)起初两人分别在A、B两点，则

43、

44、

45、=3,

46、

47、=1.∴

48、

49、=

50、

51、2+

52、

53、2-2

54、

55、

56、

57、cos60°=9+1-2×3×1×=7.∴

58、

59、=km，即起初两人相距km.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q,则

60、

61、=4t,

62、BQ

63、=4t,又∵甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动，∴当0≤t≤时，

64、

65、2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;当t>时，

66、

67、2=(3-4t)2+（1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7(t>0),综上,

68、

69、2=48t