《历届代数试题》word版

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1、(2011.1A)一、填空题（每题4分，共16分）1.设都是4维列向量，4阶方阵，4阶方阵，已知则方阵.2.设为3维列向量，，则=.3.设3阶方阵的秩为2，则常数=.4.设是阶实对称矩阵的两个不同特征值，是对应的单位特征向量，则矩阵有两个特征值为和..二、单项选择题（每题4分，共16分）1.设有直线和平面则（）（A）与平行但不在上；（B）在上；（C）与垂直相交；（D）与相交但不垂直.2.设阶矩阵非奇异，为的伴随矩阵，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.3.设都是阶非零矩阵，且，则和的秩（）（A）必有一个为0；

2、（B）都小于；（C）一个小于，一个等于；（D）都等于.4.元二次型正定的充分必要条件是（）（A）；（B）的正惯性指数为0；（C）秩为n;（D）合同于单位矩阵.三、（10分）求点到直线的距离.四、（10分）设3阶矩阵满足，其中为3阶单位矩阵.（1）证明可逆；（2）若，求矩阵.五、（10分）已知,（1）为何值时，不能表示为的线性组合；（2）为何值时，可以表示成的线性组合，并写出该表示式.六、（10分）已知矩阵与相似，求.七、（10分）(注意:学习过第8章“线性变换”者做第2题,其余同学做第1题)1.设矩阵给定，令（1

3、）证明是上的线性子空间；（2）当时，求的基与维数.2.设是线性空间的一个基，已知，且在此基下的矩阵为（1）求的基与维数；（2）在中选一个基，把它扩充为的一个基.(2010.1A)一、单项选择题(每小题5分,共15分)(1).设A为三阶方阵,将A的第2行加到第1行得矩阵B，再将B的第1列的倍加到第2列得矩阵C，记矩阵,则(A).(B).(C).(D).【】(2).设有线性方程组(I):，(II):,则(A)(II)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解;(B)(II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)

4、的解;(C)(I)的解不是(II)的解，(II)的解也不是(I)的解;(D)(I)的解是(II)的解，但(II)的解不是(I)的解;.【】(3)若阶方阵相似于对角阵，则(A)有个不同的特征值;(B)为实对称阵;(C)有个线性无关的特征向量;(D).【】二、填空题(每小题5分,共15分)(1).设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵的一个特征值为.(2).矩阵，则二次型的矩阵为.(3).已知是四元方程组的三个解，其中且，则方程组的通解为三、(12分)证明两直线,异面；求两直线间的距离；并求与都垂直且相交的直线方程。四、

5、(12分)线性方程组讨论取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.五、(12分).已知二次曲面方程可经过正交变换化为柱面方程，求的值及正交矩阵P.六、(12分)设,矩阵满足，其中为三阶单位矩阵，求矩阵X.七、(12分)(注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1)矩阵，线性空间求的基与维数.(2)设,在的基下的矩阵为，求在基下的矩阵.八、(10分)设是维列向量组，矩阵试证明线性无关的充要条件是对任意维列向量，方程组均有解。（2009.1

6、A)一、单项选择题(每小题5分,共15分)(1).设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A)　(B)(C)(D)【】(2).若,则(A)的行向量线性相关;(B)的行向量线性无关;(C)是列满秩的;(D)是列满秩的.【】(3).设矩阵,,则(A).(B).(C).(D).【】二、填空题(每小题5分,共15分)(1).在中,则=.(2).若阶矩阵的特征值为,且,则=(3).三、(12分)求以为准线,母线平行于向量的柱面方程四、(12分)设线性方程组与方程有公共解,求的值及所有公共解.五、(12分).设二次型，其

7、中.(1)求一个正交矩阵，使成对角矩阵;(2)若,指出方程所表示的图形名称.六、(12分)设且知，求矩阵X.七、(12分)(注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1)是否可作为的一个基？求维数.(2)求的线性变换的值域的基和零度空间的基八、(10分)设是齐次线性方程组的基础解系，向量满足，证明：向量组线性无关.（2008.1A）一、填空题(每小题4分,共16分)(1).若矩阵,则=.(2).已知,则迹=.(3).若向量组线性相关,则=.(4).设矩阵为正定矩阵，则的取值范围是.二、

8、单项选择题(每小题4分,共16分)(1).设，则必有(A).　(B)(C).(D).【】(2).直线和直线(A)重合.　(B)相交.　(C)平行.　(D)异面.【】(3).只有零解的充分必要条件是(A)的列向量线性相关;(B)的行向量线性相关;(C)是行满秩的;(D)是列满秩的;【】(4).设矩阵，则＝(A).　(B).　　(C).　　(D).　【】三、(12分)写出以为