注册电气公共基础第13讲高等数学

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1、三、重积分（一）重积分的概念与性质1．二重积分的概念与性质设f（x，y）在平面有界闭区域D上有界，将闭区域D任意划分成n个小闭区域：任取点（i，，）(i=l,2，…，n）。记小区域的直径为di，＝max{d1,d2，…，dn｝。若极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在有界闭区域D上的二重积分，记成f(x,y)d,即当f(x,y)0,(x,y）D时，二重积分f(x,y)d在几何上表示以曲面Z=f(x,y）为顶、闭区域D为底的曲顶柱体的体积。二重积分具有如下性质：其中且无内点其中σ为D的面积(5）若在D上，f(x，y)≤g(x,y)，则6页(7）设M

2、、m，分别是f（x，y）在D上的最大、最小值，σ是D的面积，则(8）设f（x，y）在闭区域D上连续，σ是D的面积，则存在点（ξ,η）∈D，使得2．三重积分的概念与性质设f(x,y，z）在空间有界闭区域Ω上有界，与二重积分的定义类似地有f（x，y,z）在Ω上的三重积分的定义，即若f（x，y,z）表示某物体在点f(x,y,z）处的密度，Ω表示该物体占有的空间闭区域，则三重积分就表示该物体的质量M.三重积分具有与二重积分类似的性质。（二）重积分的计算法1．二重积分的计算法(1）利用直角坐标在直角坐标下，二重积分也表成若积分区域D（图1-3-1）可表成6页则

3、二重积分可化成先对y后对x的二次积分，即或记成若积分区域D（图1-3-2）可表成则二重积分可化成先对x、后对y的二次积分，即我们称图1-3-1所示的区域为x-型区域，图1-3-2所示的区域为Y-型区域。如果积分区域既是X-型的，也是Y-型的，则二重积分可表成两个不同次序的二次积分，于是有6页(2）利用极坐标直角坐标和极坐标的关系是积分的变换公式是若积分区域D（图1-3-3）可表成则二重积分可化成先对ρ、后对θ的二次积分，即2．三重积分的计算法(1）利用直角坐标6页（三）例题1．计算，其中D是由抛物线，y2=x及直线y=x-2所围成的闭区域。【解】两曲

4、线的交点是（1，-1）、（4,2）。积分区域D（图1-3-4）可表成从而6页6页