注册电气公共基础第17讲高等数学

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1、（三）例题【例1-4-l】判别级数sin的收敛性。【解】级数sin为正项级数，因为而级数发散（p-级数，p=1的情形，，根据比较审敛法的极限形式知此级数发散.【例1-4-2】判别级数的收敛性。【解】所给级数为正项级数，因为根据比值审敛法知所给级数发散。【例1-4-3】判别级数的收敛性。【解】所给级数为正项级数，因为根据根值审敛法知所给级数收敛。【例1-4–4】数项级数的部分和数列有界是该级数收敛的（A）充分条件。（B）必要条件。（C）充分必要条件。5页（D）既非充分又非必要条件。【解】按数项级数收敛的定义，级数收敛即级数的部分和数列有极限，

2、而部分和数列有界是部分和数列有极限的必要条件，故选（B）。注意对正项级数来说，部分和数列有界是级数收敛的充分必要条件，而对一般的非正项级数来说，部分和数列有界仅是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。【例1-4-5】级数的收敛性是（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）无法判定【解】按莱布尼兹判别法知，级数收敛；级数是p-级数的情形，p<1，故级数发散，因此应选（B）。【例1】判别级数的收敛性。【解】所给级数是任意项级数，因为而级数是收敛的（p-级数，p=4）。根据比较审敛法知，级数收敛，即级数绝对收敛，从而级数收敛。5页【例1-4-7】

3、判别级数的收敛性。【解】所给级数为任意项级数，因为根据任意项级数审敛法（3）知，所给级数发散。［例1-4-8］下列各选项正确的是二、幂级数泰勒级数（一）幂级数的概念和性质1．幂级数的概念称为幂级数，令，可化为2．幂级数的收敛性若级数当时收敛，则对适合的一切x，级数绝对收敛；若级数当时发散，则对适合的一切x，级数发散。3．幂级数的收敛半径及其求法5页若幂级数在某些点收敛，在某些点发散，则必存在唯一的正数R，使当时，级数绝对收敛，当时，级数发散。这个R称为幂级数的收敛半径；若幂级数只在x=0处收敛，则规定收敛半径R=0；若幂级数对一切x都收敛，

4、则规定收敛半径对幂级数若则它的收敛半径4．幂级数的性质若幂级数的收敛半径为R，则称开区间（-R,R）为幂级数的收敛区间，"根据幂级数在x＝±R处的收敛情况，可以决定幂级数的收敛域（即收敛点的全体）是四个区间：（-R,R）、［-R,R）、（-R,R］、[-R,R］之一。幂级数具有以下性质：（l）幂级数的和函数在其收敛域上连续；（2）幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导、逐项积分公式逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。（二）泰勒级数5页1．泰勒级数的概念若f（x）在点x0处具有各阶导数，则幂级数称为函数f（x）

5、在点x0处的泰勒级数，特别当x0=0时，级数称为函数f（a）的麦克劳林级数。2．函数展开成泰勒级数的条件设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内具有各阶导数，则f（x）在该邻域内能展开成泰勒级数（即f（x）的泰勒级数收敛于f（x）本身）的充分必要条件是f（x）的泰勒公式中的余项（其中）3．常用函数的幂级数展开式5页