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1、二、平面（一）平面的方程设平面过点M0（x0,y0,z0)，它的一个法向量n=（A,B,C)，则平面Ⅱ的方程为此方程称为平面的点法式方程。平面的一般方程为其中n=(A,B,C）为该平面的法向量。设一平面与x、y、z轴分别交于P（a,0,0）、Q(0,b,0）和R(O,0，c）三点（其中a≠0,b≠0，c≠0)，则该平面的方程为此方程称为平面的截距式方程，a、b、c依次称为平面在x、y、z轴上的截距。对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点。如，在方程Ax＋By＋Cz+D=0中，当D=0时，方程表示一个通过原点的平面；当A=0时，方程
2、表示一个平行于x轴的平面；当A=B=0时，方程表示一个平行于xOy的平面。类似地，可得其他情形的结论。（二）两平面的夹角两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）。设有平面Ⅱ1,:Alx+B1y＋Clz+D1=0和平面Ⅱ2:A2x+B2y＋C2z+D2=0，则Ⅱ1和Ⅱ2的夹角θ由下式确定：由此可得Ⅱ1与Ⅱ2互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0Ⅱ1与Ⅱ2平行相当于空间一点P0（x0，y0，z0）到平面5页的距离，有以下公式：（三）例题【例1-1-5】求过三点Ml(2,-1，4)、M2（-l,3，-2）和M3(0,2,3）的平面的
3、方程。由平面的点法式方程，得所求平面方程为【例1-1-6】求两平面x-y+2z-6=0,2x+y+z-5＝0的夹角。【解】因为故所求夹角。【例1-1-7】平行于x轴且经过点（4,0，-2）和点（2,1,1）的平面方程是【解】由平面平行于x轴知，平面方程中x的系数为0，故（A）、（B）不正确。由平面经过两已知点，知（C）满足，故选（C）.三、直线（一）空间直线的方程5页设空间直线L是平面Ⅱ1:Alx+B1y＋Clz+D1=0和平面Ⅱ2:A2x+B2y＋C2z+D2=0，的交线，则L的方程为。此方程称为空间直线的一般方程。设直线L过点M0（x0,y
4、0,z0)，它的一个方向向量为s=（m,n,p)，则直线L的方程为此方程称为直线的对称式方程。如设参数t如下：此方程组称为直线的参数式方程。（二）两直线的夹角两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角（通常指锐角）。设直线L1：和直线L2:则L1和L2的夹角可由下式确定：由此可得L1和L2互相垂直相当于5页L1和L2平行相当于（三）直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，通常规定。设直线的方程是平面的方程是则直线与平面的夹角φ由下式确定：由此可得直线与平面垂直相当于直线与平面平行或直线在平面上相当于Am+Bn+CP=0
5、（四）例题【例1-1-8】求过两点M1(3,-2,1)和M2(-1,0,2)的直线方程。【解】取=（-4,2,1)为直线的方向向量，由直线的对称式方程得所求直线方程为5页【解】直线L1和L2的方向向量依次为s1=(1,-4,1)、s2=(2,-2,-1).设直线L1和L2的夹角为,则所以则L的参数方程是【解】由于两平面的交线L与这两平面的法线向量nl=（1，-1,1),n2=（2，1,1）都垂直，所以直线L的方向向量s可取nlXn2，即由此可知（C）与（D）不正确。而点（1,1,1）是直线L上的一点，故应选（A）。5页
