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1、2-71.已知y=x3-x,计算在x=2处当Dx分别等于1,0.1,0.01时的Dy及dy.解Dy
2、x=2,Dx=1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18,dy
3、x=2,Dx=1=(3x2-1)Dx
4、x=2,Dx=1=11;Dy
5、x=2,Dx=0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161,dy
6、x=2,Dx=0.1=(3x2-1)Dx
7、x=2,Dx=0.1=1.1;Dy
8、x=2,Dx=0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601,dy
9、x=
10、2,Dx=0.01=(3x2-1)Dx
11、x=2,Dx=0.01=0.11.2.设函数y=f(x)的图形如图所示,试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、Dy及Dy-dy并说明其正负.解(a)Dy>0,dy>0,Dy-dy>0.(b)Dy>0,dy>0,Dy-dy<0.(c)Dy<0,dy<0,Dy-dy<0.(d)Dy<0,dy<0,Dy-dy>0.3.求下列函数的微分:(1);(2)y=xsin2x;(3);(4)y=ln2(1-x);(5)y=x2e2x;(6)y=e-xcos(3-x);
12、(7);(8)y=tan2(1+2x2);(9);(10)s=Asin(wt+j)(A,w,j是常数).解(1)因为,所以.(2)因为y¢=sin2x+2xcos2x,所以dy=(sin2x+2xcos2x)dx.(3)因为,所以.(4).(5)dy=y¢dx=(x2e2x)¢dx=(2xe2x+2x2e2x)dx=2x(1+x)e2x.(6)dy=y¢dx=[e-xcos(3-x)]dx=[-e-xcos(3-x)+e-xsin(3-x)]dx=e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx.(7).(8)dy
13、=dtan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)dtan(1+2x2)=2tan(1+2x2)×sec2(1+2x2)d(1+2x2)=2tan(1+2x2)×sec2(1+2x2)×4xdx=8x×tan(1+2x2)×sec2(1+2x2)dx.(9).(10)dy=d[Asin(wt+j)]=Acos(wt+j)d(wt+j)=Awcos(wt+j)dx.4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:(1)d()=2dx;(2)d()=3xdx;(3)d()=costdt;(4)d()=sinwxdx;(5)
14、d();(6)d()=e-2xdx;(7)d();(8)d()=sec23xdx.解(1)d(2x+C)=2dx.(2)d()=3xdx.(3)d(sint+C)=costdt.(4)d()=sinwxdx.(5)d(ln(1+x)+C).(6)d()=e-2xdx.(7)d().(8)d()=sec23xdx.5.如图所示的电缆的长为s,跨度为2l,电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f,则电缆长可按下面公式计算:,当f变化了Df时,电缆长的变化约为多少？解.6.设扇形的圆心角a=60°,半径R=100cm(如图
15、),如果R不变,a减少30¢,问扇形面积大约改变了多少？又如果a不变,R增加1cm,问扇形面积大约改变了多少？解(1)扇形面积,.将a=60°,R=100,代入上式得(cm2).(2).将a=60°,R=100,DR=1代入上式得(cm2).7.计算下列三角函数值的近似值:(1)cos29°;(2)tan136°.解(1)已知f(x+Dx)»f(x)+f¢(x)Dx,当f(x)=cosx时,有cos(x+Dx)»cosx-sinx×Dx,所以cos29°=.(2)已知f(x+Dx)»f(x)+f¢(x)Dx,当f(
16、x)=tanx时,有tan(x+Dx)»tanx+sec2x×Dx,所以tan136°=.8.计算下列反三角函数值的近似值(1)arcsin0.5002;(2)arccos0.4995.解(1)已知f(x+Dx)»f(x)+f¢(x)Dx,当f(x)=arcsinx时,有,所以»30°47¢¢.(2)已知f(x+Dx)»f(x)+f¢(x)Dx,当f(x)=arccosx时,有,所以»60°2¢.9.当较小时,证明下列近似公式:(1)tanx»x(x是角的弧度值);(2)ln(1+x)»x;(3),并计算tan45
17、¢和ln1.002的近似值.(1)已知当
18、Dx
19、较小时,f(x0+Dx)»f(x0)+f¢(x0)Dx,取f(x)=tanx,x0=0,Dx=x,则有tanx=tan(0+x)»tan0+sec20×x=sec20×x=x.(2)已知当
20、Dx
21、较小时,f(x0+Dx)»f(x0)+f¢(x0)Dx,取f(x)=lnx,x0=1,Dx=x,则有ln(1+x)»
