平面向量的概念及运算(2)

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1、第十七讲平面向量的概念及运算一、知识整合：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法。向量的大小即向量的模（长度），记作

2、

3、即向量的大小，记作｜

4、。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。②零向量长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）③单位向量模为

5、1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等

6、向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同。2．向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则==。规定：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指

7、向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。②向量减法向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共

8、同起点）。（3）实数与向量的积①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。3．两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。4．平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。5．平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐

9、标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作=，其中叫作在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。规定：相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：①若，则；②若，则；③若=(x,y)，则=(x,y)；④若，则。二．典例精析题型1：平面向量的概念例1．（1）给出下列命题：①若

10、

11、＝

12、

13、，则

14、=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是

15、

16、=

17、

18、且//；⑤若//，//，则//；其中正确的序号是。（2）设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=

19、

20、·;(2)若与a0平行，则=

21、

22、·；（3）若与平行且

23、

24、=1，则=。上述命题中，假命题是题型2：平面向量的运算法则例2．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量题型3：平面向量的坐标及运算例3．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为A

25、D，求。例4．已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。题型4：平面向量的性质例5．平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求。例6．已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？题型5：共线向量定理及平面向量基本定理例7．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（）A．3x+2y－11=0B．（x－1