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1、向量在解析几何中的应用大连市三十六中学数学组例题例1.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足，则点P的轨迹是（D）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线[点评]此题考查轨迹方程和向量的基本运算等知识，属于较简单的题.例2.已知椭圆(a＞b＞0)上总存在点P,使,其中F1,F2是椭圆的焦点,那么该椭圆离心率的取值范围是[点评]此题借助向量语言给出的垂直关系，重点考查椭圆的几何性质.例3.设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为.当l绕点M旋转时,求(1)动点P的轨迹
2、方程;(2)的最大值和最小值.[解析]⑴设，代入中消得.设则设，则，消得当不存在时，中点为（0，0），满足上述方程.所以P点轨迹方程是.⑵由P点轨迹方程知所以，当时，；当时，.[点评]此题主要考查平面向量的基本运算、直线和圆锥曲线相交问题、轨迹方程的求法和应用、配方法求函数的最值等基本知识，考查了解析几何的基本思想和综合解题能力.C例4.在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(-1，0),B(1，0)，平面内两点G，M同时满足以下条件：①；②；③.试求：⑴△ABC顶点C的轨迹方程；⑵过点P(2，0)的直线l与
3、⑴中的轨迹交于点E，F，求的取值范围.BAGMyxO[解析]⑴是△ABC的外心A(-1，0),B(1，0)，M在y轴上G是△ABC的重心设C(x,y),则.又C点轨迹方程是⑵设，代入中消x得则设则=的取值范围是.[点评]此题主要考查如何用平面向量的知识解决来平面几何的问题，涉及了向量的几何意义和基本运算，同时考查了直线和圆锥曲线相交问题、求轨迹方程及函数的值域等基本知识，体现了解析几何的基本思想，是一道比较好的综合题.练习1.已知向量,经过原点O以为方向向量的直线与经过定点(0,1)以为方向向量的直线交于P其中λ∈R则点P的轨
4、迹方程为[点评]此题考查向量的基本运算、直线方程以及交轨法求轨迹方程等知识，涉及的知识点较多，具有一定的综合性.2.如果把直线x-2y+c=0沿向量平移,所得直线与圆相切,则实数c的值是9或-1[点评]此题主要考查直线与圆相切问题，由于平移的介入增加了题目的难度，准确求出平移后直线的方程是本题的关键.yxFQO3.如图:已知的面积为s,且(1)若,求向量与的夹角θ的范围(2)设,以O为中心F为焦点的椭圆经过点Q,求Q点的纵坐标．(3)在(2)的条件下,当取最小值时,求椭圆的方程.[解析](1)由题意得得.又（2）以O为原点，所
5、在直线为x轴建立直角坐标系设椭圆方程为，，则.由得(3)在上单调递增，此时，即取最小值时Q点的坐标为由点Q在椭圆上且c=2得，解得所以椭圆方程是.[点评]此题考查了平面向量的数量积、夹角、向量的坐标运算、利用函数的单调性求最值以及求椭圆的标准方程等知识点，是一道综合性极强的题，对学生的要求较高，考查了综合解题能力.4.已知两点且点P使成公差小于零的等差数列.（1）点P的轨迹是什么图形？（2）若点P的坐标是(x0,y0),设θ是的夹角，求tanθ.[解析](1)设P(x,y),则,,∴∵三者构成公差小于零的等差数列，∴且即∴p点
6、轨迹是以原点为圆心,为半径的圆在y轴右侧的半圆.(2)由(1)知，，∴∴，∴∴[点评]此题考查了平面向量的数量积、等差数列、求轨迹的方法、三角函数的知识，是一道综合题，看起来比较复杂，认真做起来并不难，而同学们在做的时候得分并不高，主要是书本上各知识点和基本知识、基本技能掌握得不够牢固，所以在复习中应注意双基的复习，不能好高骛远.
