几何概型常见错误辨析

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1、几何概型常见错误辨析　　在几何概型中，事件A的概率计算公式为，　　根据笔者的理解，其中D、d是指空间形式（如线段、射线、直线、角、平面图形、立体图形等）所表示的区域，测度是指度量区域所得到的数量（如长度、角度、面积、体积等）。在几何概形中，每个基本事件可视为从区域内随机取一点，区域内的每一个点被取到的机会都一样。因此D的测度就是所有等可能基本事件相应区域的数量，d的测度就是包含A的等可能基本事件相应区域的数量。　　在解几何概型问题时，最容易犯以下两种错误：（1）选取的空间形式表示的区域不符合题意；（2）基本事件在相应的区域内不等可能出现。而且不易辨析。如王波凤对例1的求解是这样

2、评析的：　　例1，已知直线l过点E（-1，0），l与圆C：（x-1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦AB≥2的概率为。　　解法一：如图1，设直线l方程为y=k（x+1），代入（x-1）2+y2=3，得（k2+1）x2+2（k2-1）x+k2-2=0，因为l与ΘC相交于A、B两点，所以△=4（k2-1）2-4（k2+1）（k2-2）>0，解得…（1）。　　因为圆的半径，所以弦长AB≥2时，圆心C到　　直线l的距离d≤，即≤，解得-1≤k≤1…（2）。　　由几何概型可知，事件M为直线l与圆C相交弦长AB≥　　2的概率P（M）=。4　　另一部分学生认为这道题应该用直线的倾斜角来算。

3、　　解法二：前面部分同解法一，得到（1）、（2）两式后，根　　据斜率与直线倾斜角的关系，得到P（M）=。　　到底哪种方法正确呢？通过分析，这道题的试验是过定点作直线，用倾斜角是均匀的，而斜率不能均匀，不满足等可能性。如斜率为1的直线已经在第一象限的角平分线了，这样前一种方法就错了。　　笔者认为以上评析有三点需要纠正。其一，解法二不能称“用直线的倾斜角来算”，因为倾斜角的范围是[0°，180°），而应该改成“用以射线EC为始边，以射线EA为终边所形成的角”来算。其二，“斜率为1的直线已经在第一象限的角平分线了”，也只有在直线已经过原点时才能这样说。其三，解法一用直线的斜率作为所表

4、示区域，王波凤认为“斜率不能均匀，不满足等可能性。”，其实例1中直线l的斜率可以这样理解：　　如图2，令圆C与x轴正半轴相交于D，过D点的圆C的切线为DF。在x轴上方设过E点的直线l与DF相交与G　　点。因为斜率，所以DG=kED=（2+）k，这就是　　说根据斜率k，在DF上可以截得确定的线段长DG；反过来，在x轴上方的DF上截取确定的线段长，就能得到唯一相应的斜率k。根据对称性，在x轴下方也有类似的情况。也就是说，直线l的斜率可由切线DF上所取的G点来确定，而G点在DF上是等可能出现的，因此例1中用直线l的斜率作基本事件相应的区域是满足等可能性的。　　图1图24　　解法一错误

5、的真正原因，应该是选取的空间形成的区域不符合题意。因为根据题意，直线l应该由过E点与射线EC成不同的角而得到，并不是在圆C的切线DF上取不同的点而得到。所以纠正后的解法二是正确的。　　下面的问题提醒我们要注意几何概型问题的另一类错误。　　例2，如图3中，给定两个平面向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中x、y∈R），则满足x+y≥的概率为。　　解法一：在图3中，过C点分别作OA、OB的平行线CD、CE。设∠AOC=θ（θ∈[0°，120°]）。令圆O的半径为1，在△COE和△COD中，用正弦定理分别得x=OE=　　，，[sinθ+sin（120°-

6、　　θ）]=2cos（θ-60°）。　　因为0°≤θ≤120°，所以-60°≤θ-60°≤60°，于是x+y∈　　[1，2]，所以满足x+y≥的概率为。　　图3图4　　错因分析：　　由解法一，已得x+y=2cos（θ-60°），且-60°≤θ-60°≤60°。要否定“基本事件是等可能出现的”，只要举出一个反　　例就够了。例如：当时，，于是　　得θ-60°=-30°或θ-60°=30°，即θ=30°或θ=90°，这时AB弧上有两点F、G与对应；当x+y=2时，cos（θ-60°）=1，于是得θ-60°=0°，即θ=60°4。这时AB弧上只有一点H与x+y=2对应。如图4。这说明用

7、x+y作为空间形式相应的区域，基本事件是不等可能出现的，解法一是错误的。4