回到思维原点

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1、回到思维原点　　[摘要]　　教学用书是教师教学的必备参考书，是教学的依据，然而教师应该有自己的思考，如果察觉其有疑惑之处，应及时予以探究，还原数学的本质面貌。“大道至简”也许能揭示一些数学规律，但简单中蕴含的不简单却要引起我们的关注。作为一名小学数学教师，在新课程推进的今天，不应仅仅是解题的能手，更应是追寻数学根源的探索者。　　[关键词]　　小学数学;探究;还原本质　　苏教版数学六年级下册第19页思考题：在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升9厘米。把这段钢材竖着拉出水面8厘米，水

2、面下降4厘米。求这段钢材的体积。　　教学用书的解法是先算出储水桶的底面积：3.14×52×8÷4=157（平方厘米），然后算出圆钢的体积：157×9=1413（立方厘米）。　　笔者开始也和教学用书的思路一样。在数学练习课放手让学生讨论一番，在学生的讨论中笔者方才发现其中值得推敲的地方甚多。“老师，如果圆钢的高度小于或等于储水桶原来水的高度，题目解法思路简单明了。”“老师，如果圆钢的高度与上升后水面高度齐平时，该如何考虑？”“老师，如果圆钢的高度大于储水桶原来水的高度而小于上升后水面高度时，又该如何考虑？”6疑惑顿现，笔者静下

3、心来，梳理了一番解题思路，察觉其需分析多种情况下题目的解题方法。下面就自己探究问题的历程与诸位共享。　　图1图2　　一、解题之初，看山是山，看水是水　　探讨一：当圆钢的高度小于或等于储水桶原来水的高度，见图1，教学用书上的解法显得非常清晰。教学用书的解法先算3.14×52×8÷4=157（平方厘米），是因为“拉出水面8厘米的圆钢体积等于下降4厘米水柱的体积”，由此算出储水桶的底面积，而上升9厘米的水柱体积等于圆钢的体积，所以用157×9=1413（平方厘米）求出圆钢的体积。不过值得注意的是这里的“水柱体积”应是“实心的，圆柱

4、体的体积”，因为上升的水的形状会有多种情况出现，只是最后结论可统一为“上升或下降的水柱（实心的，圆柱体。以下所提水柱均为实心的圆柱体）体积等于圆钢的体积”。　　当然，也可以换一种思路。圆钢拉出水面8厘米，水面就下降4厘米，可得“8厘米圆钢的体积等于下降4厘米水柱的体积”。把圆钢全部拉出水面，水面就下降9厘米，可得“圆钢的体积等于下降9厘米水柱的体积”，如果出现水面与圆钢齐平时，其结论也是一样的。这样，圆钢拉出水面的体积和下降的水柱的体积成正比例，用9÷4×8=18（厘米）求出圆钢的高度，再用3.14×52×18=1413（平

5、方厘米）求出圆钢的体积。该种解法简洁明了，是正比例知识的灵活运用。让学生理解此种解法，可以使学生体味数学思考方法无所不在。数学教学中不但要知其然，还要知其所以然。　　二、解题有悟，看山不是山，看水不是水6　　探讨二：当圆钢的高度与上升后水面高度齐平时，见图2，则“上升和下降的就是‘环形水柱’而非‘水柱’”“上升9厘米的环形水柱的体积是x厘米圆钢的体积”，有人理解为“上升9厘米的环形水柱的体积应是整段圆钢的体积而非x厘米圆钢的体积”是理解歧义所致。应理解为“上升9厘米的环形水柱的体积是x厘米圆钢的体积，同时加上9厘米圆钢的体积

6、，可得上升的9厘米的水柱体积是整段圆钢的体积”，“把圆钢竖着拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米”可得“（8-4）厘米圆钢的体积等于下降4厘米环形水柱的体积，同时加上4厘米的圆钢，得8厘米圆钢的体积等于下降4厘米水柱的体积”，由此用3.14×52×8÷4=157（平方厘米）先求出储水桶的底面积，再用157×9=1413（平方厘米）求出圆钢的体积。x厘米圆钢的体积能“挤高”9厘米的环形水柱，因为9厘米圆钢占据了自己的空间。　　图3图4图5　　探讨三：当圆钢的高度大于储水桶原来水的高度而小于上升后水面高度时，文中所提及的情况可分为

7、三种。　　第一种情况：以圆钢的上底面与水相交的截面为基准，上升的9厘米水分割成4厘米水（圆钢的上底面距现在水面的距离）和5厘米水（圆钢的上底面距原来水面的距离）。如图3，可知“下降4厘米的水柱体积等于8厘米圆钢的体积”，求得储水桶的底面积是3.14×52×8÷4=157（平方厘米）。“上升9厘米的水的体积（4厘米水柱的体积和5厘米的环形水柱的体积）等于截掉5厘米圆钢的体积，同时加上5厘米圆钢的体积，则上升9厘米水柱的体积等于整段圆钢的体积。”所以再用157×69=1413（平方厘米）求出圆钢的体积。　　第二种情况：上升的9厘

8、米水分割成上面m（大于4）厘米水和下面n（小于5）厘米水。如图4，可知“下降4厘米的水柱体积等于8厘米圆钢的体积”，求得储水桶的底面积是3.14×52×8÷4=157（平方厘米）。“上升9厘米的水的体积（m厘米水柱的体积和n厘米的环形水柱的体积）等于截掉n厘米圆钢的体积，同时加上n厘米圆钢