立足本源 授人以渔

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1、立足本源授人以渔　　[摘要]　　通过分析一道高考题的解题障碍，得出教学启示，并以解析几何的教学为例，谈了渗透数形结合思想的三个方法。　　[关键词]　　教学指向;为数配形;形数互化　　高三一轮复习《直线与圆、圆与圆的位置关系》的时候，我挑选了2013年高考江苏卷17题作为例题。　　如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4.设圆C的半径为[1]，圆心在l上。　　（I）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程。　　（II）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。　　从当堂反馈来看

2、，学生在第一小题上没有障碍。而在解第二小题的过程中，多数同学能由MA=2MO得出阿波罗尼斯圆的方程，但未意识到轨迹为几何图形，只是专注于点M同时在两条曲线上，故而联立方程组[x2+（y+1）2=4（x-a）2+（y-2a+4）2=1]消去x或y，将问题转化为一元二次方程，试图用代数方法求解，然后受困于此，解题走向死胡同。　　在我提醒从“形”的角度思考方程组后，学生们恍然大悟“6圆[C]与阿波罗尼斯圆”有公共点，然后他们顺利地写出了以下的求解过程：　　因为圆心在直线y=2x-4上，所以圆C的方程为[（x-a）2+[y-2（a-2）]2=1].　　设

3、点M（x，y），由MA=2MO，知：[x2+（y-3）2=2x2+y2]，化简得：x2+（y+1）2=4.所以点M的轨迹是以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆。　　又因为点在M圆C上，所以圆C圆D的关系为相交或相切，则[2-1≤CD≤2+1]，其中[CD=a2+（2a-3）2]。　　解之得：[0≤a≤125]。　　所以点[C]的横坐标a的取值范围为[0，125]。　　确实，2013年的考生走出考场后有较多人反映第17题的第二小问比较困难。事实上，此题相较于此前三年高考考的椭圆问题大大降低了计算难度，侧重考察函数与方程思想、数形结合思想。为什么多数

4、学生解不出第二小问呢？主要原因是学生没有深入理解数学的基本思想，不能将其灵活运用于解题实践。这就启示教师：中学教学不需过分追逐高考风向，而应回归本源，从提高能力素养着手，让学生真正掌握重要的思想方法。　　接下来以解析几何为例，谈谈如何在平时教学中渗透数形结合思想。　　一、新课教学指向研究方法和研究思路　　6教材中的每个数学分支，甚至每个课程单元或者主题模块，都有相应的研究方法和研究思路。《数学必修2》第二章平面解析几何初步的引言在列举了现实生活中的曲线后，介绍了曲线的方程、方程的曲线的概念，并抛出问题：如何建立直线和圆的方程？如何通过方程来研究他

5、们的性质？这实际上已经给出了解析几何研究问题的一般方法：首先引入坐标把几何问题转化为代数问题，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。本质上就是“化形为数、为数配形”。所以教师在教授新课时要按照“形-数-数-形”的逻辑顺序展开教学。　　比如在“椭圆的性质”这一小节中，教材安排先研究椭圆的标准方程再得出椭圆的范围、对称性、顶点等性质，然后设置例题1研究1个特殊椭圆的几何性质再画出这个椭圆。然而，北京市特级教师张鹤先生在讲座《有意义的教学是观念性的教学》中提到：有些教师在“椭圆的性质”课例中，直接画出图形然后让学生观察椭圆的性质。如

6、此处理，表面上学生也很容易接受椭圆的各种性质，但是这两种不同的教学方法在学生研究问题的能力培养上取得的效果是截然不同的。前者教会学生的是研究问题的方法和思路，一旦领会就终身难忘;后者只教会了学生具体的知识，没有方法的引领学生解题只能是“想不到、解不出”。　　二、公式推导挖掘“形”的内涵　　数形结合的思想还包含构造“形”来体会问题的本质，进而解决“数”的问题。但是本章中的解析法侧重于将“形”的问题转化为“数”的问题研究，所以教师在“为数配形”方面还需多些关注与重视。　　比如椭圆（双曲线）的标准方程的推导过程就是一个“为数配形”的好素材。　　《数学选

7、修2-1》在“椭圆的标准方程”这节的习题中安排了第8题：设动点P到点F（1，0）的距离是到直线x=9的距离的[13]，试判断点P的轨迹是什么图形。在“双曲线的标准方程”6这节的习题中安排了第5题：在DABC中，B（-6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率乘积为[94]，求顶点A轨迹。这两道习题的安排能启发师生对椭圆（双曲线）的标准方程的推导过程作进一步的思考与挖掘。　　椭圆的标准方程的推导过程中有中间式：[a2-cx=a（x-c）2+y2]，受习题8的解答的启示，可将其变形为[ca（a2c-x）=（x-c）2+y2]，即[（x-c）2+y2

8、a2c-x=ca]，然后“为数配形”。式子表示动点（x，y）到定点F（c，0）的距离与它到一定直线l：x=[a2c]的距离之比是定值[c