2015年吉林省长春外国语学校高二理科上学期人教A版数学期末考试试卷

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1、2015年吉林省长春外国语学校高二理科上学期人教A版数学期末考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.复数3+i1−i等于  A.1−2iB.1+2iC.2−iD.2+i2.抛物线y=14x2的准线方程是  A.x=−116B.x=−18C.y=−1D.y=−23.双曲线x2a2−y2=1的离心率为2，则正数a的值为  A.3B.2C.2D.14.已知椭圆x2a2+y23=1a>3上一动点P到其两焦点F1，F2的距离之和为4，则实数a的值是  A.1B.2C.3D.45.若函数y=ax2+1的图象与双曲线x2−y24=1的渐近线相切，则实数a的值为  A.1B.2C.3D.

2、46.已知函数fx=ex+3，则fx在x=0处切线的方程是  A.x−y+4=0B.x+y−4=0C.4x−y+4=0D.4x+y−4=07.若抛物线y2=4x与直线x−y−1=0交于A，B两点，则∣AB∣=  A.2B.4C.6D.88.fx=x2−alnx在1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围为  A.−∞,1B.−∞,1C.−∞,2D.−∞,29.由函数fx=13x3−x2−3x+5的零点的个数是  A.0B.1C.2D.310.函数fx=ex−2x+1在0,1上的最小值是  A.2B.e−1C.3−2ln2D.2−2ln211.∫013x2dx−∫011−x2dx= 

3、 A.1−π4B.2C.1+π4D.π−112.若椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，则双曲线x2a2−y2b2=1的离心率是  A.2B.52C.72D.3二、填空题（共4小题；共20分）13.复数z=1+ia−i表示的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ．14.若点P1,m为抛物线y2=2pxp>0上一点，F是抛物线的焦点，若∣PF∣=2，则m= ．15.函数fx=ax3+bx+1在x=1处有极大值2，则b−a= ．第7页（共7页）16.若A，B是双曲线x2−y23=1上两个动点，且OA⋅OB=0，则△AOB面积的最小值是 ．三、解答题（共6小题；共78分）

4、17.若函数fx=ax3+2bx2−4x在x=−2与x=23处取得极值．（1）求函数fx的解析式；（2）求函数fx的单调递增区间．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0经过点0,1，且离心率e=22．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l:y=kx−1与椭圆交于A，B两点，且OA⋅OB=0，求直线l的方程．19.已知函数fx=x+ax−2，a∈R．（1）当a=4时，求函数fx的极值；（2）若函数在x=1处的切线平行于x轴，求a的值．20.已知椭圆x24+y23=1，A，B分别为其左右顶点，P是椭圆上异于A，B的一个动点，设k1，k2分别是直线PA，PB的斜率．（1）求k

5、1⋅k2的值；（2）若M1,1是椭圆内一定点，过M的直线l交椭圆于C，D两点，若OM=12OC+OD，求直线l的方程．21.若点P1,2，Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线y2=2pxp>0上的不同的三个点，直线AP，BP的斜率分别是k1，k2，若k1+k2=0．（1）求抛物线的方程；（2）求y1+y2的值及直线AB的斜率k．22.已知函数fx=lnx−x+1．（1）求函数fx的单调区间；（2）求证：当x>0时，1−1x≤lnx≤x−1；（3）当x∈N*时，证明1+12+13+⋯+1n>lnn+1．第7页（共7页）答案第一部分1.B2.C3.D4.B5.A6.A7.D8.D【解

6、析】由fx=x2−alnx，得fʹx=2x−ax，因为fx在1,+∞上单调递增，所以2x−ax≥0，即a≤2x2在1,+∞上恒成立，因为2x2>2，所以a≤2．9.D【解析】函数fx=13x3−x2−3x+5，可得fʹx=x2−2x−3，令x2−2x−3=0可得x=−1，x=3，x<−1或x>3时，fʹx>0，函数fx=13x3−x2−3x+5是增函数，x∈−1,3时，fʹx<0，函数fx=13x3−x2−3x+5是减函数，所以fx的极大值为f−1=7−13>0，函数的极小值为f3=−4<0．所以fx的零点个数为3．10.C【解析】fʹx=ex−2，令fʹx=0，得x=ln2<

7、1，当x∈0,ln2时，fʹx<0，fx递减；当x∈ln2,1时，fʹx>0，fx递增．所以x=ln2时fx取得极小值也为最小值，fln2=3−2ln2．11.A【解析】因为∫011−x2dx表示以原点为圆心，以半径为1的圆的面积的四分之一，所以∫011−x2dx=π4，因为∫013x2dx=x301=1，所以∫013x2dx−∫011−x2dx=1−π4．12.C【解析】椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，可得ca=12，即：a2−b2a2=14，可得b2a2=34，则在双