2016年北京市东城区高三理科数学一模试卷.docx

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1、2016届北京市东城区高三下学期综合练习（一模）数学（理科）一、选择题（共8小题；共40分）1.已知复数i1+ai为纯虚数，那么实数a的值为  A.−1B.0C.1D.22.集合A=xx≤a，B=xx2−5x<0，若A∩B=B，则a的取值范围是  A.a≥5B.a≥4C.a<5D.a<43.某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人，现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为  A.9，18，3B.10，15，5C.10，17，3D.9，16，54.执行如图所示的程序框图，输出的s值为  

2、A.12B.1C.2D.45.在极坐标系中，直线ρsinθ−ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为  A.12B.22C.1D.26.一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为  A.2B.22C.3D.107.已知三点P5,2，F1−6,0，F26,0，那么以F1，F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为  A.3B.6C.9D.12第11页（共11页）8.已知e1，e2为平面上的单位向量，e1与e2的起点均为坐标原点O，e1与e2的夹角为π3，平面区域D由所有满足OP=λe1+μe2的点P组成，其中λ+μ≤1,λ≥0,μ≥0,那么

3、平面区域D的面积为  A.12B.3C.32D.34二、填空题（共6小题；共30分）9.在2x+14x5的展开式中，x3项的系数为 （用数字作答）．10.已知等比数列an中，a2=2，a3⋅a4=32，那么a8的值为 ．11.如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P．若CP=AC，则∠COA= ；AP= ．12.若sinπ4−α=35，且α∈0,π4，则sin2α的值为 ．13.某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如下表：货物体积升/件重量公斤/件利润元/件

4、甲20108乙102010运输限制110100在最合理的安排下，获得的最大利润的值为 ．14.已知函数fx=∣lnx∣，关于x的不等式fx−fx0≥cx−x0的解集为0,+∞，其中x0∈0,+∞，c为常数．当x0=1时，c的取值范围是 ；当x0=12时，c的值是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.在△ABC中，BC=22，AC=2，且cosA+B=−22．（1）求AB的长度．（2）若fx=sin2x+C，求y=fx的图象与直线y=32相邻交点间的最小距离．16.已知三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC=90∘，A

5、A1=1，AB=3，AC=2，E，F分别为棱C1C，BC的中点．第11页（共11页）（1）求证：AC⊥A1B；（2）求直线EF与A1B所成的角；（3）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．17.现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打且只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．比赛项目男单女单混双平均比赛时间25分钟20分钟35分钟（1）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（

6、2）设随机变量X表示第三场比赛开始时需要等待的时间，求X的数学期望；（3）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．18.设函数fx=aex−x−1，a∈R．（1）当a=1时，求fx的单调区间；（2）当x∈0,+∞时，fx>0恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当x∈0,+∞时，lnex−1x>x2．19.已知抛物线C：y2=2pxp>0，其焦点为F,O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为−p．（1）求抛物线C的方程；（2）若M为线段AB的中点，射

7、线OM交抛物线C于点D，求证：∣OD∣∣OM∣>220.数列an中，给定正整数mm>1，Vm=∣ai+1−ai∣i=1m−1．定义：数列an满足ai+1≤aii=1,2,⋯,m−1，称数列an的前m项单调不增．（1）若数列an的通项公式为：an=−1n，n∈N*，求V5．（2）若数列an满足：a1=a，am=b，m>1,m∈N*,a>b，求证：Vm=a−b的充分必要条件是数列an的前m项单调不增．（3）给定正整数mm>1，若数列an满足：an≥0，n=1,2,⋯,m，且数列an的前m项和为m2，求Vm的最大值与最小值．（写出答案即可）第11

8、页（共11页）答案第一部分1.B【解析】i⋅1+ai=−a+i，当a=0时，复数为纯虚数．2.A【解析】B=xx2−5x<0=x0