2017年江苏省南外仙林分校中学部高一下学期数学期中考试试卷

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1、2017年江苏省南外仙林分校中学部高一下学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1.不等式x2+2x−3<0的解集是 ．2.cos40∘cos20∘−sin40∘sin20∘的值等于 ．3.等差数列an中，a1+a5=10，a4=7，则数列an的公差为 ．4.不等式x−1x+2<0的解集是 ．5.等比数列an的公比不为1，若a1=1，且a3+a2−2a1=0，则a5= ．6.在△ABC中，已知B=30∘，c=15，b=53，那么C= ．7.设等比数列an的前n项和为Sn，若S4=2，S8=6，则S12= ．8.已知等差数列an的公差d≠0，若a2=5，且a1，

2、a3，a6成等比数列，则数列an的前9项和S9= ．9.已知sinx−π3=13，则cosx+π6= .10.在各项均为正数的等比数列an中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是 ．11.如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30∘和45∘，两个观察点A，B之间的距离是200米，则此山CD的高度为 米．12.若a>0，b>0，且a+b=1，则2a+3b的最小值为 ．13.函数fx=sinxcosx+cos2x−12的单调递增区间为 ．14.已知数列an的前n项和为Sn，an≠0n∈N*，anan+1=Sn，则a3−a1= ．二、解答题（共6小题；

3、共78分）15.已知α∈π2,π，且sinα2+cosα2=62．（1）求cosα的值；（2）若sinα−β=−35，β∈π2,π，求cosβ的值．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C=2π3，a=6．（1）若c=14，求sinA的值；（2）若△ABC的面积为33，求c的值．17.等差数列an的首项a1=1，其前n项和为Sn，且a3+a5=a4+7．（1）求an的通项公式；（2）求满足不等式Sn<3an−2的n的值．第6页（共6页）18.已知an是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列bn满足b1=4，b4=20，且bn−an是等比数列．（1）求数

4、列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和．19.如图，某湖泊湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120∘的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=2千米，AN=2千米．（1）求线段MN的长度；（2）若∠MPN=60∘，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．20.设数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan−nn−1．（1）求证：数列an为等差数列，并求出an的表达式；（2）设数列1anan+1的前n项和为Pn，求证：Pn

5、<12；（3）设cn=an2n，Tn=c1+c2+⋯+cn，试比较Tn与n2n−1的大小．第6页（共6页）答案第一部分1.x−30x+2<0或x−1<0x+2>0，解得−2

6、−a1=1+a1−a1=1．第二部分15.（1）将sinα2+cosα2=62两边同时平方，得1+sinα=32，则sinα=12．又π2<α<π，所以cosα=−1−sin2α=−32．      （2）因为π2<α<π，π2<β<π，所以−π2<α−β<π2．所以由sinα−β=−35，得cosα−β=45，所以第6页（共6页）cosβ=cosα−α−β=cosαcosα−β+sinαsinα−β=−32×45+12×−35=−43+310.16.（1）在△ABC中，有正弦定理得asinA=csinC，所以sinA=acsinC，所以sinA=614sin2π3=314

7、3．      （2）因为S△ABC=12absinC，所以33=12×6×32b，解得b=2．又因为c2=a2+b2−2abcosC，所以c2=4+36−2×2×6×−12=52，所以c=213．17.（1）设数列an的公差为d.因为a3+a5=a4+7，所以2a1+6d=a1+3d+7．因为a1=1，所以3d=6，即d=2，所以an=a1+n−1d=2n−1．      （2）因为a1=1，an=2n−1，所以Sn=a1+an2n=n2，所以n2<32n−1−2，所以n2−6n+5<0，解得1