2017年上海市交通大学附中高一下学期数学期中考试试卷

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1、2017年上海市交通大学附中高一下学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P5,−12，则secα= ．2.arccos−32= ．3.已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9 cm2，则该扇形的弧长为 cm．4.设sinα=35，α∈π2,π，则tanα的值为 ．5.函数y=2sin2x+π6的最小正周期为 ．6.若cosxcosy+sinxsiny=13，则cos2x−2y= ．7.函数y=sinx+arcsinx的值域是 ．8.关于x的方程cos2x+sinx+a=0在x∈0,π2上有解，则实数a的取值范围是 ．9

2、.设函数fx=sinx+12sin2x+1的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．10.已知sinα=3sinα+π6，则tanα+π12= ．11.已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足cosAsinA1=cosBsinB1=cosCsinC1=1，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为 ．12.已知函数y=kcoskx在区间π4,π3单调递减，则实数k的取值范围为 ．二、选择题（共4小题；共20分）13.方程tanx=2的解集为  A.xx=2kπ+arctan2,k∈ZB.xx=2kπ±arctan2,k∈ZC.xx=kπ

3、+arctan2,k∈ZD.xx=kπ+−1karctan2,k∈Z14.已知函数y=Asinωx+φ+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x=π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是  A.y=4sin4x+π6B.y=2sin2x+π3+2C.y=2sin4x+π3+2D.y=2sin4x+π6+215.函数y=2sinπ6−2x，x∈0,π为增函数的区间是  A.0,π3B.π12,7π12C.π3,5π6D.5π6,π16.已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③cos2α2，

4、cos2β2，cos2γ2；④tanα2，tanβ2，tanγ2．第9页（共9页）分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有  A.1组B.2组C.3组D.4组三、解答题（共5小题；共65分）17.设α∈0,π3，β∈π6,π2，且α，β满足53sinα+5cosα=8,2sinβ+6cosβ=2.（1）求cosα+π6的值．（2）求cosα+β的值．18.如图，在等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD的大小为α，∠CAD的大小为β．（1）若α=π4，β=π3，求BDDC；（2）若BDDC=12，β=α+π3，求∠B．19.某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度

5、忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D．（1）若∠BAD=π3，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米），（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD为多大时，总造价最低?最低总造价是多少?（结果分别精确到0.1∘和0.1千元）20.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3sinB−cosB3sinC−cosC=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试

6、确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．21.已知集合P是满足下述性质的函数fx的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有fx+M=−Mfx成立．（1）设函数gx=sinπx，试证明：gx∈P；（2）当M=1时，试说明函数fx的一个性质，并加以证明；（3）若函数hx=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．第9页（共9页）答案第一部分1.135【解析】由题意可得x=5，y=−12，则r=∣OP∣=13，所以cosα=xr=513，所以secα=135．2.5π6【解析】arccos−32=π−arccos32=π−π6=5π6．3.6【解析】设扇形的弧长为l，圆心角大小为αrad，半径为

7、r，扇形的面积为S，则：r2=2Sα=2×92=9．解得r=3，所以扇形的弧长为l=rα=3×2=6 cm．4.−345.π【解析】函数y=2sin2x+π6=2sin2x+π6−1+1=−cos2x+π3+1的最小正周期为2π2=π．6.−79【解析】cosxcosy+sinxsiny=cosx−y=13⇒cos2x−y=2cos2x−y−1=−797.−sin1−π2,sin1+π2【解析】函