北京市东城区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)

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1、北京市东城区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合A=x01”是“x2>1”的______A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.

2、既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，输出的a值为______A.3B.5C.7D.96.直线y=kx+3与圆x−22+y−32=4相交于A，B两点，若AB=23，则k=______A.±3B.±33C.3D.337.关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a⋅b=a⋅c，则b=c；②若a=1,k，b=−2,6，a∥b，则k=−3；③非零向量a和b满足a=b=a−b，则a与a+b的夹角为30∘．其中真命题的序号为______A.①②B.①③C.②③D.①②③8.已知函数fx=x2+5x,x≥0,−ex+

3、1,x<0.若fx≥kx，则k的取值范围是______A.−∞,0B.−∞,5C.0,5D.0,5二、填空题（共6小题；共30分）第6页（共6页）9.命题“∀x∈R，x<1”的否定是______．10.双曲线x29−y2=1的离心率e=______；渐近线方程为______．11.在△ABC中，a=15，b=10，A=60∘，则cosB=______．12.已知变量x，y满足约束条件x≥0,y≤1,x≤y,则z=4x⋅2y的最大值为______．13.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______．14.对于

4、实数x，用x表示不超过x的最大整数，如0.3=0，5.6=5，若n∈N*，an=n4，Sn为数列an的前n项和，则S8=______；S4n=______．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=23sinxcosx−2cos2x+1．（1）求fx的最小正周期；（2）若a∈0,π2，且fa=1，求a的值．16.已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足：b12+b222+⋅⋅⋅+bn2n=an+1n∈N*，求bn的前n项和．

5、17.如图，边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别为AE，BC的中点，AF=3．（1）求证：DA⊥平面ABEF；（2）求证：MN∥平面CDFE；（3）在线段FE上是否存在一点P，使得AP⊥MN?若存在，求出FP的长；若不存在，请说明理由．第6页（共6页）18.已知函数fx=lnx−ax（a>0）．（1）当a=2时，求fx的单调区间与极值；（2）若对于任意的x∈0,+∞，都有fx<0，求a的取值范围．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，右焦点为3,0．（1）求椭

6、圆的方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率为k的直线与椭圆交于点Ax1,y1，Bx2,y2，若x1x2a2+y1y2b2=0，求斜率k的值．20.设集合Sn=1,2,3,⋯,n，若X是Sn的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集．（1）写出S4的所有奇子集；（2）求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等；（3）求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．第6页（共6页）答案第一部分1.C2.A3.A4.A5.C6.B7.C8.D

7、第二部分9.∃x0∈R，x0≥110.103；x±3y=011.6312.813.3214.6；2n2−n第三部分15.（1）因为fx=3sin2x−2cos2x−1 =3sin2x−cos2x =2sin2x−π6,所以fx的最小正周期为π．      （2）因为fa=1，所以sin2a−π6=12，因为a∈0,π2．所以2a−π6∈−π6,5π6．所以2a−π6=π6．故a=π6．16.（1）设等差数列an的公差为d，则依题意有d>0．由a2+a6=14，可得a4=7．由a3a5=45，得7−d7+d=45，可得

8、d=2．所以a1=7−3d=1．可得an=2n−1．      （2）设cn=bn2n，则c1+c2+⋯+cn=an+1．即c1+c2+⋯+cn=2n．可得c1=2，且c1+c2+⋯+cn−1=2n−1．所以cn=2n∈N*．所以bn=2n+1．所以数列bn是首项为4，公比为2的等比数列．所以数列bn的前n项和Sn=41−2n1−2=2n+2−