北京市东城区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)

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1、北京市东城区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合A=x00，则A∪B= A.0,1B.1,2C.−∞,−1∪0,+∞D.−∞,−1∪1,+∞2.在复平面内，复数2+ii对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设a∈R，则"a=−1"是"直线ax+y−1=0与直线x+ay+5=0平行"的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程

2、序框图，输出的a值为 A.3B.5C.7D.95.在△ABC中，a=15，b=10，A=60∘，则cosB= A.13B.33C.63D.2236.已知直线y=kx+3与圆x−22+y−32=4相交于M，N两点，若MN≥23，则k的取值范围为 A.−33,33B.−13,13C.−∞,−33D.33,+∞7.在直角梯形ABCD中，∠A=90∘，∠B=30∘，AB=23，BC=2，点E在线段CD上，若AE=AD+μAB，则μ的取值范围是 A.0,1B.0,3C.0,12D.12,28.定义maxa,b=a

3、,a≥b,b,a

4、,y0x0>0在曲线y=x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x0= ．14.设等差数列an满足：公差d∈N*，对任意n∈N*，有an∈N*，且an中任意两项之和也是该数列中的一项．①若a1=1，则d= ；②若a1=25，则d的所有可能取值之和为 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=23sinxcosx−2sin2x+1．（1）求fπ12；（2）求fx在区间0,π2上的最大值和最小值．16.已知an是公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（1）求数列an的

5、通项公式；（2）若数列bn满足：b121+b222+⋯+bn2n=an+1n∈N*，求数列bn的前n项和．17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1B⊥平面A1B1C1，AC=CB=CC1=2，∠ACB=90∘，D，E分别是A1B1，CC1的中点．第8页（共8页）（1）求证：C1D∥平面A1BE；（2）求证：平面A1BE⊥平面AA1B1B；（3）求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值．18.已知a∈R，函数fx=lnx+1x+ax．（1）当a=0时，求fx的最小值；（2）若fx在区间2,+∞上是

6、单调函数，求a的取值范围．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的点到其两焦点距离之和为4，且过点0,1．（1）求椭圆的方程；（2）O为坐标原点，斜率为k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点Ax1,y1，Bx2,y2，若x1x2a2+y1y2b2=0，求△AOB的面积．20.若无穷数列an满足：（i）对任意n∈N*，an+an+22≤an+1；（ii）存在常数M，对任意n∈N*，an≤M，则称数列an为“T数列”．（1）若数列an的通项为an=8−2n（n∈N*），证明：数列an为“T数列

7、”；（2）若数列an的各项均为正整数，且数列an为“T数列”，①证明：对任意n∈N*，an≤an+1，②证明：存在n0∈N*，数列an0，an0+1，an0+2，⋯为等差数列．第8页（共8页）答案第一部分1.C2.D3.A4.C【解析】a=3，S=3；a=5，S=15；a=7，S=105，结束循环，输出a=7．5.C【解析】根据正弦定理asinA=bsinB，得sinB=33，因为b

8、∣2k∣1+k2，所以∣MN∣=2r2−d2=24−4k21+k2，由MN≥23，解得k∈−33,33．7.C【解析】过C作CP∣∣AD交AB于点P，由BC=2，∠B=30∘得CP=1，即AD=1，又AB=23，所以PB=3，所以DC=3．以A点为原点建立直角坐标系如图所示，则A0,0，B23,0，C3,1，D0,1．设Ex,1，所以由AE=AD+μAB得x,1=0,1+μ23,0，所以x=23μ，又因为x∈0,3，所以μ∈0,12．8.B