对偶映射的矩阵以及矩阵的秩-zcl.space

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1、对偶映射的矩阵以及矩阵的秩张朝龙目录1对偶映射的矩阵12矩阵的秩3我非常喜欢《譬譩譮譥譡譲譡譬譧譥譢譲譡譤譯譮譥譲譩譧譨譴》这本书。其原因之一是这本书从头到尾都不是从矩阵到线性空间，而是从线性空间到矩阵。在线性映射和矩阵的关系一文中，我们从线性映射引出了矩阵，这种自然的过渡不知道比从莫名其妙的行列式高明多少。说实话，大一的时候碰到行列式，然后进行各种稀奇古怪的计算时，我的内心是崩溃的，你现在还记得四阶行列式用伴随子计算的过程么？忘了最好！；好不容易从行列式出来，又突然进入了矩阵的泥潭，这完全是再次莫名其妙，等到线性映射出现的时候，已经“三而竭”了。尽管最后考了高分，那完

2、全是填鸭式突击的结果。在本文我们再次把矩阵和线性映射紧密联系。这次我们先给出矩阵转置的定义，然后论述矩阵的转置是如何和线性空间以及线性映射结合的。1对偶映射的矩阵定义1.1矩阵A的转置是通过互换A的行和列来完成的。确切的说，若A是mn的矩阵，则At是nm矩阵，其元素由下面的等式给出：謨At謩謽Ak;jj;k转置有一个特别好的性质：对所有的mn矩阵A;C和所有2F均有謨A謫C謩tAt謫Ct且謨A謩t謽At。定理1.1若A是mn矩阵,C是np矩阵，则：謨AC謩t謽CtAt謱1对偶映射的矩阵证设謱km;謱jp，则：謨AC謩t謽謨AC謩謨謱謮謱謩j;kk

3、;jXn謽Ak;rCr;j謨謱謮謲謩r=1Xn謽謨At謩謨Ct謩謨謱謮謳謩r;kj;rr=1Xn謽謨Ct謩謨At謩謨謱謮謴謩j;rr;kr=1謽謨CtAt謩謨謱謮謵謩j;k即：謨AC謩t謽CtAt0定理1.2假设V有基v1;:::;vn，V的对偶基'1;:::;'n，并假设W有基w1;:::;wm以00及W的对偶基1;:::;m，于是M謨T謩是按V和W的上述基对应的矩阵，M謨T謩时00按照W和V对应的矩阵计算。0则有对于T2L謨V;W謩，有M謨T謩謽謨M謨T謩謩t证这个命题的证明仅仅需要紧扣定义。00设A謽M謨T謩,C謽M謨T謩，再设謱jm,謱kn，由M謨T謩

4、的定义我们有：Xn0T謨j謩謽Cr;j'r謨謱謮謶謩r=10因为T謨j謩謽jT,所以，将上式两端作用到vk上，有：Xn謨jT謩謨vk謩謽Cr;j'r謨k謩謨謱謮謷謩r=1謽Ck;j謨謱謮謸謩另外，根据T謨vk謩的定义我们有：謨jT謩謨vk謩謽j謨Tvk謩謨謱謮謹謩Xm謽j謨Ar;kwr謩謨謱謮謱謰謩r=1Xm謽Ar;kj謨wr謩謨謱謮謱謱謩r=1謽Aj;k謨謱謮謱謲謩综上有：A謽C，即A謽Ctj;kk;j欢迎访问譺譣譬的譳議譡譣譥：譺譣譬謮譳議譡譣譥謲謯謳2矩阵的秩2矩阵的秩定义2.1设A是元素属于F的mn矩阵：1.A的行秩是A的诸行在F1;n中的张成空间的维

5、数；2.A的列秩是A的诸列在Fm;1中的张成空间的维数。定理2.1设V和W都是有限维的，T2L謨V;W謩，则譤譩譭rangeT等于M謨T謩的列秩。证设v1;:::;vn是V的基，w1;:::;wn是W的基。则将w2span謨Tv1;:::;Tvn謩变为M謨w謩的函数是从span謨Tv1;:::;Tvn謩到span謨M謨Tv1謩;:::;M謨Tvn謩謩的同构。于是譤譩譭span謨Tv1;:::;Tvn謩謽譤譩譭span謨M謨Tv1謩;M謨Tvn謩謩等式右边的维数等于M謨T謩的列秩。因为rangeT謽span謨Tv1;:::;Tvn謩，所以譤譩譭rangeT謽譤譩譭span

6、謨Tv1;:::;Tvn謩定理2.2设A2Fm;n，则A的行秩等于A的列秩。欢迎访问譺譣譬的譳議譡譣譥：譺譣譬謮譳議譡譣譥謳謯謳