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1、一、解释下列词语，并举例说明（每小题满分5分，共15分）1.模型模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。如地图、苯分子图。2.数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做岀一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型。如概率的功利化定义。3.抽象模型抽象模型是为了便于研究而建立的一种高度抽象的理想客体.实际的物体都是具有多种属性的，例如固体具有一定的形状、体积和内
2、部结构，具有一定的质量等.但是，当我们针对某种目的，从某种角度对某一物体进行研究时，有许多对研究问题没有直接关系的属性和作用却可以忽略.二、简答题（每小题满分8分，共24分〉1.模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形象模型：直观模型，物理模型，分子结构模型等；抽象模型：思维模型，符号模型，数学模型等。2.数学建模的基本步骤1.建模准备：确立建模课题的过程.2・建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化.有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则•3・构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择适当的数学
3、工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻化实际问题的数学模型.1.模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解.2.模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等.3.模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际.7•模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用1.数学模型的作用数学模型的根本
4、作用在于他将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用，数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学建模还物化于各中高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高
5、科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的。三、解答题(满分20分》A题(9n,9n+8)小童父亲要到美国访问，授人之托希望多带点东西。中国民航的《国际旅游须知》中有关“计件免费行李额”中规定“适应于中美、中加国际航线上的行李运输……。经济和旅游折扣票价，免费交运的行李件数为两件，每件箱体三边之和不得超过62英寸，但两件之和不得超过107英寸，每件的最大重量不得超过32公斤。”试问这两件箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？请你到市场上看一看，商店出售的行李箱的尺寸与你的计算结果是否接近？为什么？设
6、xl,yl,zl分别表示第一个箱子的长、宽、高，x2,y2,z2分别表示表示另一个箱子的长、宽、高.于是建立数学模型为MaxV=xlylzl+x2y2z2lx+y+z<62,□111□x+y+z<62,S.T.222Imax{x,y,z}+max{x,y,z}0107,□111222□x>0,y>0,z>0,x>0,y>0,z>0.□111222当x=y=z=x=y=z=64时，体积最大.112223四、综合题(21分〉L.跑步中的数学问题(7n+2,7n+6,7n+4)0验血分组问题(7n+5,7n+4,7n+1)在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此需要对团体
7、中团体成员逐个验血，一般来说，若血样呈阳性，则有此种疾病；呈阴性则无此种疾病.逐个验血工作量也很大.为了减少验血的工作量，有位统计学家提出一种方案：把团体中的成员进行分组，再把组内所有人员的血样混合后再检验，若呈阴性，则该组内所有人员都无此疾病，这时只需作一次检验；若呈阳性，这时为搞清楚谁患有此种疾病，则对组内每个人员分别检验，共需检验R+1次.若该团体中患此病症的概率为〃，且各人得此种疾病相互独立，那么此种方法能否减少验血次数？若能减少，那么减少多少工作量？在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此需要对团体中团体成员逐个验血，一般来说，若血样呈阳性，则有此种疾
