概率积分的推导计算及应用

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1、XXXXXXXXXXXXXXXX学校毕业论文论文题目:概率积分的推导计算及应用学生姓名学号专业班级12级数教（4）班指导教师XXXXXX焦作师专普通专科生毕业论文（设计）开题报告表学生姓名XXX所在教学系数学系年级、班级12级4班指导教师姓名XXX指导教师职称副教授现从事专业数学教育论文（设计）题目概率积分的推到计算及应用论文（设计）的主要任务及创新设想：概率积分是很重要的积分之一，在数理方程、概率论等方而经常用到，且有广泛的应用。本文通过对概率积分的内容进行深入的剖析，找到其间的内在联系，使之能

2、在教学中提高效率，较短时间内获得较大量的信息，学牛也能全面系统的了解此部分的内容，并在理解的基础上加以记忆，最终达到掌握的目的。针对众多的实际问题能独立审题、分析，合理使用所掌握的方法解决问题，进而提高学生的数学思维能力。论文（设计）提纲及进度安排：进度安排：1、引言；2014年1月1日到2月28日论文开题，撰写开2、概率积分问题的讨论；题报告；2014年3月1口到4月10日撰写论文3、概率积分的推到计算方法；初稿并修改；2014年4月11日到4月30日修改4、概率积分在实践屮的应用；第二稿；20

3、14年5月1日至10日论文定稿打印，5、讨论小结。上交论文指导教师建议和意见：签字：年月日毕业论文（设计）成绩评定表学生姓名论文题目指导老师职称论文成绩指导教师评语年月日说明：1•成绩评定采用四级制，即优、良、合格、不合格。2•评语内容包括：理论意义、实践意义、达到水平、观点及论证有无错误等。概率积分的推导计算及应用咼科峰摘要：木文通过对概率积分的内容进行深入的剖析，找到其间的内在联系，并将其推广到较为一般的情形：匚严2心=花@〉0)；再利用数学中的变量代换、极坐标变换、含参变量积分、重积分和余元

4、公式等多种方法对原概率积分及其一般情形进行推导计算和证明，保证原概率积分计算的正确性，确定推广后的概率积分的合理性。在概率积分的基上，查找相关的文献资料，找到了高斯概率积分与概率积分法在实践屮的应用，并通过对其进行系统概括归纳，讨论了其优点与不足，并提出了建议。关键词：概率积分；高斯概率积分；概率积分法；正态分布；应用1.概率积分问题的讨论正态分布是概率论与数理统计中的重要分布之一。服从正态分布的随机变量在实践屮有着广泛的应用。例如，理论与实践都证明测量误差服从正态分布N®,/),各2的大小，反映

5、了测量的精度是底还是高，其中著名的高斯分布就是它的实例。还有人群的身高、体重，工厂产品的直径、长度、重量、电源的电压等等，都可以认为服从正态分布。这些案例的共同点就是：它们的一个变量受到大量微小的、独立的、随机因素的彫响，在正常情况下，每一种因素都不起着压倒一切的主导作用，根据中心极限定理，就可以看作服从正态分布。同时，当参数/7TOO时，我们学过的二项分布以及泊松分布也可以认为服从正态分布。通过查找相关的文献资料，概率积分是标准正态密度函数的广义积分，可见概率积分与正态分布有着本质的联系。且在概

6、率积分的慕础上形成的概率积分法以及高斯概率积分，在我们的实际生活中已扮演着举足轻重的作用，本文将概率积分做如下探讨。2.关于概率积分的几种推导计算方法2.1极坐标变换?Ydx设/=Je2dx则—『+oo—-—Ie2dxIe2dyJ—ooJ—oo=rreJ—ooJ—oo做极坐标变换：X=rcos0.y=rsind于是得2rdr-2龙从而即彳(1—£_a一2犷-工I=^271即/=Je2dx=yflK2.2用二重积分推到计算概率积分心二逅已知无穷积分「穴dx收敛，有「厂dx=lim[ae~xdxJOJ

7、oa—>Jo因为们尹町=们eW%卜”严2)如y其中D(O5x5a,05y5a)是正方形区域设2分别是以a和血。为半径，圆心在原点位于第一象限那部分区域，如图1因为X/(x,y),有小宀心>0,口uDuQ所以有JJ幺"+>^dxdy

8、j幺卜+y^dxdyD{DD2做二重积分极坐标变换：x=rcos0.y=厂sin&于是得(r,^)/0

9、D,=^(r,^)/0

10、=—^q004\e^dxdyd2dy=jj(Frdrie=彳(1-幺当QT+oo时，则有limaT82.3利用余元公式与函数求概率积分=-Jo2Vgw(0,1)时，由余元公式有「(a)「(l—小=^^,当°=丄时，贝IJsin7ta2r+=石再由函数有^J=dz=y[ji设z=F,可得概率积分re-?tZr=—Jo22.4利用变量代换计算概率积分^e~x2dx=^-设宀，如佥有2.5综合法计算概率积分re-x2dx=^-Jo22一(1+*2)/2令〃)=(仁呦‘g⑴=1—疋改,