【5A版】学生建模报告-海盗分赃问题.doc

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1、7A版优质实用文档海盗分赃问题一.问题重述：从前,在一个小岛上有一伙海盗（共5人），他们刚刚从来往的运金船上抢得了一批金砖，经点算共计1000块。有一个狡猾的海盗建议，不采取平均分配的原则，而是将5个人按照一种次序，依次提出分赃方法，如果第一个人提出的方法有半数或半数以上的人同意（包括提议人自己），则大家就按他的方法分配，否则就把他干掉，由下一个人继续提出方法；依次类推。前提是这些海盗都非常贪婪和精明，能够多得到一块就不会拱手让给别人，可是他们又很重江湖规矩，一旦决定了分配方法就会按照它执行，不会采用任何非常手段抢夺。到底如何分配，既可以保存

2、自己生命，又可以获得尽可能多的财宝？2.模型假设：五名海盗编号，分别为A,B,C,D,E;3.模型求解：整个过程可以归纳为下表：E10000101D/1000010C//99901B///9990A////998从本题中可以看出，在讨论编号次序时，如何将自己放在首位将直接决定所分得的黄金数量。4．模型进一步思考：（1）.当只在半数以上（不含半数）讨论该问题时，哪个位置是最好的？（2）.当金块数量为3，人数为6时，哪个位置是最占便宜的？5．问题的延伸：57A版优质实用文档7A版优质实用文档从问题中我们可以看出，在这个问题中，强盗们在同意该提议时

3、，则最后的分配结果，在某种意义上说，是绝对公平的。但是，因为他们都很聪明，所以第一个位置的争夺将是无休止的，也就是说这个问题是无结果的。再者，我们可以把金块等同于其他有待分配的实体。显然，只有给每个人赋予一定的权值求解该问题才是有意义的。故运用席位分配问题来代替它，以给出某种较公平的分配方法。6．说明：设第i方人数为pi，i=1,2,……m,z总人数p=∑pi待分配的席位为N,理想化的席位分配结果为Ni,满足N=∑Ni。记qi=N×pi/p,显然若qi,均为整数，则应有Ni=qi.以下研究qi不全为整数的情形.Ni是N和pi的函数，记Ni=N

4、i(N,p1,……pm),,分别为qi向下取整和向上取整，则公平分配方法的理想化原则为：原则一：[qi]-≤Ni≤[qi]+,i=1,2,……m,即Ni必取[qi]-,[qi]+二者之一。原则二:Ni(N,p1,……pm)≤Ni(N+1,p1,……pm),i=1,2,……m,即总席位增加时Ni不应减少。声明：我们的初衷是为了迎合这两个原则去选择一种方案,而不是构造出某种方法后再去验证它是否满足它们。我们不得不承认我们的出发点是卑鄙的，甚至是下流的。但是正是在这种思想的指引下，在选择方案的过程中，我们欣喜地发现，我们得到的却是最最振奋人心的结果

5、，换句话说，我们把满足这两条原则的所有分配方案都找到了。我们不妨把这种方法命名为H.W.L方法。它不仅满足这两条原则而且给出了一个非常明确的数量指标。因此，从某种意义上说，席位分配问题获得了圆满的解决。我们可以大胆的说，如果它能够得到大家的认可，那么我们现在使用的《数学模型》（第三版）的下一版就应该有所修正，确切地说应该是改正了。57A版优质实用文档7A版优质实用文档H.W.L方法简介：设总人数为N，组数为W,各组人数为n;待分配的席位为M。为了满足上述两条原则。我们可以这样来选择分配方案：当待分配席位数M确定后，则每组最理想的分配席位数分别

6、为niM/N。我们来讨论前式含非整数的情况。无妨设前式的小数部分的和为T。显然0<=T

7、99.451098.91098.351097.81097.252700699.65699.3698.95698.6698.25310099.9599.999.8599.899.75.....................说明：我们的组是按照大小变化来排列的，从上表中容易得出每一行都是等差数列，而且每组的人数越多，公差越大，也就是总席位每减少一个，则从这一组减少一个席位的几率越大。57A版优质实用文档7A版优质实用文档考察ni×M/N每减少k个席位。即M减k时，前式就变为(ni×M-ni×k)/N我们记[ni×M/N]-,[ni×M/N]+分

8、别为向下,向上取整。现在我们将ki依次取1，2，3…,一直到[(ni×M-ni×k)/N]=[ni×M/N]--1为止，并记下ki这样我们按ki从小到大的顺序将W个