平面法向量的一种简单求法和在求角

《平面法向量的一种简单求法和在求角》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用云南　　　　李学元一、法向量的定义：与平面垂直的向量叫平面的法向量（根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、向量的数量积a·b=∣a︳︳b∣ｃｏｓｃｏｓ=若a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2),则a·b=∣a︳=三、向量积：a×ba×b的结果仍然是一个向量（使两个向量的起点相同）方向：右手手指指向a的方向，自然弯向b，则大拇指所指的方向就是向量a×b的方向（即

2、：a×b垂直平面）大小：等于a,b为邻边的平行四边形的面积。如图所示：a×bbαa（由此我们可以通过求两个向量的向量积求平面的法向量）学数学用专页第8页共8页搜资源上网站http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！a×b的坐标计算设a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2)则：a×b=（︳y1yz1z︱,-︱x1xz1z︱,︱x1xy1y︱）其中：二阶行列式︱abcd︱=ad-bc习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下作b×a时，把b写在上，把a写在下练习：已知a=（2，1，0）b=（-1，

3、2，1）（1）求a×b。（2）求b×a解：a×b=b×a=注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。学数学用专页第8页共8页搜资源上网站http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。求平面AEF的一个法向量解：以D为坐标原点建立坐标系∴A（）D1C1E（）A1B1F（）E∴AF=（）AE=（）DFCAB∴平面AEF的法向量n=()一、法向量在求角中的应用。1、用法向量求线

4、面角。如图naaΘΘnΘ=12π-Θ=-12π两种情况下都有：sinΘ=︱cos︱学数学用专页第8页共8页搜资源上网站http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！因为1、用法向量求二面角n1Θ（1）n2Θn1(2)n2如果两个平面的法向量选取合适，则二面角就等于两个平面的法向量的夹角（如第一种情况）。因此可以用向量的数量积公式的变形直接求出二面角。学数学用专页第8页共8页搜资源上网站http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！例：如图所示

5、，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。求平面AEF和平面ABCD所成的二面角。解：以D为坐标原点建立坐标系∴A（）D1C1E（）A1B1F（）E∴AF=（）AE=（）DFCAB∴平面AEF的法向量n1=()∴A（）B（）AB=（）∴平面ABCD的法向量n2=（）cos=平面AEF和平面ABCD所成的二面角是学数学用专页第8页共8页搜资源上网站http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！一、法向量在求距离中的应用。1、利用法向量求点到面的距离。如图

6、所示：AΘBC设点A到平面α的距离为d=AC=因为AC垂直于平面α，所以AC可以看作平面α的一个法向量n，但需注意AC与n的方向相同或相反，所以〈AB，n〉=Θ（或=π-Θ），故cosΘ=所以d==（其中B是平面内的任意一点，n是已知平面的法向量）学数学用专页第8页共8页搜资源上网站http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！1、利用法向量求两异面直线之间的距离如图所示：ACaΘbBOαDa,b是两条异面直线，AB是两异面直线的公垂线，过直线a上任意一点C做平面α的垂线于点O，连接BO，所以BO平行于

7、直线a，且AB=CO，在直线b上任意取一点D，连接OD。设〈CD，CO〉=Θ，因为CO垂直于平面α，所以CO可以看作平面的一个法向量n。但需注意CO与n的方向相同或相反。所以〈CD，n〉=Θ（或=π-Θ），故cosΘ=所以两异面直线的距离d=AB=CO===（其中C，D分别是两异面直线a,b上的任意一点，n是由直线a学数学用专页第8页共8页搜资源上网站http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！的平行线BO与直线b所确定的平面的法向量）例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F

8、分别是DD1、DC的中点。（1）点G是A1B1上的一点，且B1G=14A1B1。求点G到平面AEF的距离。（2）求异面直线A1D与AC的距离D1C1A1GB1EDFCAB学数学用专页第8页共8页搜资源上网站