拓扑空间中连续映射的证明

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1、拓扑空间中连续映射相关命题证明摘要:定义在欧式空间的连续函数,将其连续的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射,从度量空间及其连续映射导入了一般拓扑学中的拓扑空间、连续映射的概念,本文通过介绍了拓扑空间中连续映射的定义,总结连续映射的相关命题,并给出详细证明过程。关键字:连续函数,拓扑空间,点连续1连续性的简要说明由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念,所以我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。设是一个函数,,则在处连续的定义有如下几种描述方法:(1)序列语言若序列收敛于,则序列收

2、敛于;(2)语言对于,总可以找到,使当时,有(3)邻域语言若是包含的邻域(开集),则存在包含的邻域,使得。详解:(1)和(2)中用到距离的概念,可用于度量空间映射连续性的描述;对于没有度量的场合,可以用(3)来描述;所谓拓扑空间就是具有邻域(开集)。[1]2拓扑空间2.11拓扑空间的定义设是一非空集,的一个子集族称为的一个拓扑,若它满足(1);(2)中任意多个元素(即的子集)的并仍属于;(3)中有限多个元素的交仍属于。集合和它的一个拓扑一起称为一个拓扑空间,记。中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。2.1

3、2常见拓扑1)离散拓扑——非空集合的所有子集构成的集族(包括)。2)平庸(平凡)拓扑——是非空集合,。2.21拓扑空间中开集,是开集是开集。证明:设是上的开集。若,则必有且。于是,存在的球形邻域及.取,则是的球形邻域,且有,于是,故是开集。2.22若和都是上的拓扑,则是上的拓扑。[2]证明:若,且.因此,是上的拓扑。3度量空间3.11度量空间相关概念设X为集合,为一映射,如果对于任何x,y,z∈X,有:.对于任意两点x,y∈X,实数ρ(x,y)称为从点x到点y的距离.[3]3.21度量空间的任意两个球形

4、邻域的交集是若干个球形邻域的并集。证明:如右图所示,设,则有记则知,于是证毕。3.22设(度量空间)的子集族是若干个球形邻域的并集则是上的一个拓扑。证明:由于球形邻域是开集,于是可以表示为无穷个球形邻域的并,表示为零个球形邻域的并;又由的定义知,任意多个邻域的并必属于;设,记则(由分配率)由引理,一定满足的条件,即属于,故是若干个球形邻域的并,即.3.23度量空间(X,ρ)的球形邻域,如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域,则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域.设y∈B(x,ε).令=ε-ρ(x,y)

5、.显然.>0.如果z∈B(y,),则ρ(z,x)≤ρ(z,y)+ρ(y,x)<+ρ(y,x)=ε所以z∈B(x,ε).这证明B(y,)B(x,ε).3.24度量空间X中任意两个开集的交是一个开集;证明:设U和V是X中的两个开集.如果x∈U∩V,则存在x的一个球形邻域B(x,)包含于U,也存在x的一个球形邻域B(x,)包含于V.根据定理2.1.1(2),x有一个球形邻域B(x,ε)同时包含于B(x,)和B(x,),因此B(x,ε)B(x,)∩B(x,)U∩V。由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩

6、V,因此U∩V是一个开集.4拓扑空间中连续映射的证明4.1度量空间(X,ρ)的球形邻域,对于点x∈X的任意两个球形邻域,存在x的一个球形邻域同时包含于两者.[4]证明:如果B(x,)和B(x,)是x∈X的两个球形邻域,任意选取实数ε>0,使得ε<min{},则易见有B(x,ε)B(x,)∩B(x,)即B(x,ε)满足要求.4.2设(X,T),(Y,),(Z,)都是拓扑空间,则(1)恒同映射:(X,T)(X,T)是一个连续映射。(2)如果:则也是连续映射.证明(1)如果U∈,我们有,因此。(2)设都是连续

7、映射,如果,则,因此,但,因此若U∈,必有因此连续.4.3设X和Y是两个度量空间,f:X→Y以及∈X.f在点处是连续的,则f()的每一个邻域的原象是的一个邻域;证明:令U为f()的一个邻域.f()有一个球形邻域B(f(),ε)包含于U.由于f在点处是连续的,所以有一个球形邻域B(,δ)使得f(B(,δ))B(f(),ε).然而,(B(f(),ε)(U),所以B(,δ)(U),这证明(U)是的一个邻域.任意给定f()的一个邻域B(f(),ε),则(B(f(),ε)是的一个邻域.有一个球形邻域B(,δ)包含

8、于(B(f(),ε).因此f(B(,δ))B(f(),ε).这证明f在点处连续.4.4设X和Y是两个度量空间,f:X→Y以及∈X,f是连续的,则Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集证明:对于任意x∈X,设U是f(x)的一个邻域,即存在包含f(x)的一个开集VU.从而x∈(V)(U).根据条件(2)*,(V)是一个开集,所以(U)是x的一个邻域,对于x而言f在点x处连续.由于点x是任意选取的,所以f是一个连续映射.参考文献[1]熊金城.点集

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