度量空间中的开集与连续映射.pdf

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1、定理：定义在度量空间的开子集上的函数,连续⇔开集的逆象是开集。证明：设X、Y是度量空间，A是X的开子集，设有映射fA:Y。(1)充分性:设映射fA:Y连续，需证开集的逆象是开集。1设S是Y的任一开子集，并设S的逆象是RfS。任取xR，那么fxS。因为A是开集，所以存在正数x使得UxA,x。因为S是开集，所以存在正数使得UfxS,。因为fA:Y是连续映射，故存在正数xx使得fUxA,,UfxS。xxx设min,,那么UxUx,,A且UxUx,,，所xxxx

2、xxx以fUxfUx,,,,AfUxAUfxS，那么xxxx1Ux,Rx。所以S的逆象RfS是开集。(2)必要性:设开集的逆象是开集，需证映射fA:Y连续。任取xA。任取正数，设SUfx,，显然S是Y的开子集。设S的xx1逆象是RfS，那么R是开集，所以存在正数使得Ux,R。因为xx1RfS，所以fRSUfx,x。又因为UxR,x，所以fUxfR,,xxSUfx。所以映射fA:Y连续。附录：1.利用以

3、上定理可得到判定集合开闭的一种方法。主要针对x:f(x)＜c和x:f(x)≦c这类。其中f是连续的。2.象与逆象的概念：设X、Y是非空集合，fX:Y是X到Y的映射。R是X的子集，S是Y的子集。(1)集合R的“象”是指集合yyfxxR,，也就是R的所有元的函数值的集合，记作fRyyfxxR,。(2)集合S的“逆象”是指集合xfxSxX,，也就是函数值包含在S1中的所有自变量的集合，记作fSxfxSxX,。