2017年第9届全国大学生数学竞赛预赛试题与答案(非数学类)【精选】

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1、第九届4-®"禽竞赛预赛参考备案(非数学类,2017年10月28H)考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分题号—•二三四五总分满分4214141515100得分注意：1•所有答题都须写在试卷密封线右边，写在其他纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.3.如答题空白不够，可写在当页背面,并标明题号.一、(本题满分42分，共6小题,每小题7分)1.已知可导函数f(x)cosx+2^/(r)sinrd/=x+1满足则f(x)=答案：sinx+cosx解.两边同时对X求导f{x)cosx+/(x)sinx=1=>/'(

2、x)+/(x)tanx=secx由常数变易法，从而tanxcLvCftanxdvdr+CIncos.ra_J_-Incosxcosxdx+C=cosx(f=cosx(tanx+C)=sinx+Ccosx由于/(0)=1,故f(x)=sinx+cosx2.极限limsin2n—>00(^V/72+/?)解.limsin2/r(^vn2+畀)=limsin2H—>00(7T/n2+n—mt]=limsin2n—>00/n2+n+n3•设vv=/(«,v)具有二阶连续偏导数,u=x—cy.v=x+cy.其中c为非零常数.则⑷少_=答案：4办2解.W.

3、Y=/1+兀,^xx=/11+2/12+fllwy=心2—/l)，Wyy=If2—/1)=c(c/ii—cf12—cf2+c/22)=C2(/ll—^f2+fll)所以^xx—~^2Wyy=4/122.设/(x)有二阶导数连续，且/(0)=r(0)=0，r(0)=6,则lim"哼“)=w—>ooXT答案：3解./(%)在x=0泰勒展开式/u)=/(o)+r(o)x+lr(^)x2lim/(Sin?X)/

4、-*00X4所以/(sin'x)=£/〃(g)sifx,于是=35.不定积分fe_s,nvsin2xJ(1-sin兀)2_答案:解.m.v1—

5、sinx/p—sinx-sinxcosx(1—sinx)2血(17)2sinx=v£ve~vf(v—1+])幺一'」(^wdv=2J--dv6.记曲面z2=%2+尸和z=“4_兀2_护围成空间区域为V,则三重积分血zdxdydz=答案：2兀解•使用球面坐标prrp2^rp^/4p2I=///zd^idydz=/d0/d(ppcos(p-p2sin(pdpJJJJoJoJo兀/4]02=2兀0v17=2兀迈siir(p二、（本题满分14分）设二元函数/（兀,y）在平面上有连续的二阶导数.对任意角度a,定义一元函数ga(/)=/(rcosa,rsina

6、).若对任何a都有弩®=0且d峯。）＞0.证叽/（0.0）是f（x,y）的极小值证明.方法1由于啤◎=（£：人）（。。）、・dr'f（o,o）sina即（0,0）是yg）的驻点.fxyfyy记Hf=(x,y)=Avfyx，则cosa=0对一切a成立，故（A,A）（0.0）=（Q°），(4分)d2ga(0)d厂ddi(皿)(囂)L)=(cosa,sina)H/(0,0)(薦)>0（10分）上式对任何单位向量（cosa.sina）成立，故//y（0,0）是一个正定阵，而/（0.0）是/（x,y）极小值.（14分）方法2易得強哎2=£cosa+/vsin

7、a,令x=tcosa.y=rsina,由已知⑼=0,则drdr9"：®=£(0,0)cosa+人(O.O)sina=0由询任意性得｛;牆二，从而（。・。）是心的驻点.d2ga(t)d/.£•-^―=^(Acosa-FAsma)=(fxxcosa+fxysina)cosa+^fxxcosa+fyysina)sina=fxxcos2a+2/^sinacosa+fyysin2a=sinacosa[人cot2a+2f^+fyytan2rh已知-=◎sin2a[£x(0,0)co(P+2/>o，(0,0)+/^y(0,0)tarra

8、>0令a=?得4£,0

9、・0)>—*页(0・0)+加0,0)]从而[^(o,o)]2-/uo.o)Ay(o,o)>注加0吋+訴(0,0加(0,0)+杯・(0・0)「-心(0・0)川0・0)=4{[心(O'O)『-2加0,0曲0・0)+曲0・0)]2}=1[/UO,O)-^(O,O)]2>O这就说明fi2-AC>0,/(0.0)为极值•下而证明/(0,0)为极小值，警単=聞朵)一必(°)=1曲皱>0d/-r->otr—ot由保序性知:t>0时,g；⑴>0=>血⑴f;rV0时,g；⑴<0=>gMI所以/(0,0)a/(x,y)极小值.三、(本题满分14分)设曲线厂为曲线”+尸

10、+兰=1,x+z=1,x>0,y>0,z^O上从点A(l,0：0)到点«(0,0,1)的一段•求ill]线积分I=Jyck