等比数列的前n项和

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1、等比数列的前n项和教案一、教学目标1．掌握等比数列的前n项和公式及其推导思想和过程，会用等比数列求和公式进行计算，解决相关问题；2．通过实际问题，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲；通过引导学生探究等比数列的前n项和公式，让学生感受如何去分析问题、解决问题，提高学生的综合能力；培养学生的归纳、分类讨论、知识迁移的能力；通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．3．利用教材中我国古代有关数列的历史故事，培养学生

2、的民族自豪感，体会数学的文化价值，培养学生的数学素养。二、重点和难点重点：等比数列的前n项和公式及其应用。难点：等比数列的前n项和公式的推导。三、教学过程（一）引入新课讨论问题：话说猪八戒自从西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO，可好景不长，便因资金周转不灵而陷入窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙。悟空一口答应：“行，我每天投资100万元，连续1个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元…….即后一天返还数为前一天的2倍。”八戒

3、听了，心里打起了小算盘：“第一天支出1元，收入100万元；第二天支出2元，收入100万元；第二天支出4元，收入100万元；……哇，发财了……”心里越想越美……再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”教师提问假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？(观察数字特征，引出课题)教师：为解决这个问题，就需要研究一般等比数列的前n项和公式，引出课题。（二）探究结论1.学生自主探究：解决情境问题2.师生共同探讨一般等比数列前n项和：即

4、等比数列的首项是，公比为，如何求其前项和？师生活动：教师：引导学生从整体、全局思考、考察发现规律。分析等比数列的前项中每一项与前一项的关系，探索求和公式。……学生：思考后回答，将这个式子两边分别相加，得：，所以整理得：，提出问题：能不能直接求.教师：提示：要求，考虑需不需要讨论?学生：分和两种情况，当时，；当时，∴等比数列的前项和公式为教师:总结：在推导等比数列前项和公式时，用的是累加法；并且在推导过程中需要分类讨论，分类讨论的方法是数学问题中一种常用的方法，但讨论时一定要把握好标准。3.辨析质疑1）．口答：在公比为q的等比数列中(1

5、)若，则________（2）若，则________2）．判断是非：①（）②（）③若且，则　　（）4．利用求和公式，计算问题中八戒所能吸纳投资数5．考虑用其他的方法求和，并推广到一般的等比数列求和。师生活动：教师：考虑讨论：用其他的方法求和.学生：思考、交流。可以把上式两边都乘以2，则2然后让两式相减得到，得到一样的结果。教师：这种求解思路能不能推广到一般的等比数列求和？学生：完全可以。一般的等比数列前项和：两边同乘，得：两式相减，得：下面的过程就类似前面的第一种方法。教师：归纳总结方法：错位相减法。并鼓励学生的这种探索精神。我们已经

6、学会了用两种方法求等比数列的前n项和，想一想还有没有其他的方法？学生思考，小组讨论，教师提示利用等比定理第三种方法：……通过学生个别学习，互相讨论，揭示知识的内在联系.通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的洞察力．增强学生思维的严谨性.通过实物展示学生解决问题的方法，破除思维定势.（三）讲解例题例3、例4.师生活动：教师：教科书P52例3。让学生思考如何求解。学生：观察、分析：要求，需要根据条件由通项公式求出.师生：共同在黑板上书写整个过程。总结：等比数列的前项和公式及通项公式涉及到5个量：，，，，，已知其中的3个量就可以求出另外的

7、2个量。教师：教科书P53例4。引导学生思考：9,99,999，…不是等比数列，不能直接用公式，该如何解决？学生：独立思考，交流观点：把数列转化成10－1,100－1,1000－1，…就可以解决了。师生：共同在黑板上书写解题过程。教师：归纳题目所体现的数学思想：化归转化的思想。（四）巩固提高例1．已知是等比数列，请完成下表：题号(1)　　　　　(2)　　　　(3)　　　　例2．求等比数列的第5项到第10项的和．方法1：观察、发现：．方法2：此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为，公比为，项数为．（五）课堂练习

8、（1）课本P53页A组第1题（2）求数列，，，…的前项和（3）求和：0.5＋0.05＋0.005＋0.00…05师生活动：学生：独立解决。教师：巡视课堂，个别指导。师生：共同探讨答案。（六）尝试小结师生活动：学生归纳总结