上期问题解答

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1、48中等数学数学奥林匹克问题(1)试求出所有的函数f:R→R,使得对本期问题于任何的x、y∈R,都有初233计算:f(x+y)1111=-2006x+2007f(x)-2008f(y)+2009y;++++2222333344445555(2)试求出所有的函数f:R→R,使得对1111于任何的x、y∈R,都有+++.6666777788889999xf(x+y)(田永海黑龙江省绥化市教育学院,22=-2006x+2007f(x)-2008f(xy)+2009yf(x).152054)(吴伟朝卢建

2、川广州大学数学与信初234如图1,在Rt△ABC中,∠A=息科学学院,510006).90°,AB=3,AC=4.上期问题解答P是△ABC初231如图2,动点P在⊙O外,⊙O内一点,PD的半径为r.过P⊥BC于D,任作⊙O的两条割PE⊥AC于图1线PAB、PCD,AD、E,PF⊥ABBC交于点Q.求于F.直线EF分别与直线BP、CP交于点M、证:不论点P与割N.若AB+AC+BC=12,证明:△ABC与线PAB、PCD的位PFPEPD2置怎样变化,OP+△DMN有相同的内心.22OQ-PQ恒为定

3、(袁安全重庆市合川太和中学,图2值.401555)证明:如图2,设直线PO交⊙O于X、高233数列{an}满足a1=a2=1,当nY,直线QO交⊙O于M、N.在射线PQ上取≥3时,总有an=3an-1+an-2.已知锐角一点K,使得C、D、K、Q四点共圆.于是,33PQ·PK=PC·PD=PX·PYα2i+1的正切值为(i=1,2,⋯,n),锐角a2i+122=(OP-r)(OP+r)=OP-r.①3联结KD.注意到α2n+2的正切值为.求证:a2n+2∠PAD=180°-∠BAD=180°-∠

4、BCDnπ∑α2i+1+α2n+2=.=180°-∠QCD=∠QKD=∠PKD.i=13所以,P、A、K、D四点共圆.(徐道江苏省如皋市教师进修学校,故PQ·QK=AQ·QD=MQ·QN226500)22=(r+OQ)(r-OQ)=r-OQ.②高234设R是由全体实数组成的集①-②得合.©1994-2008ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net2008年第9期49PQ(

5、PK-QK)2a-1+3a-2≥a+1]a≥1.2222=(OP-r)-(r-OQ),所以,a≥1.2222即PQ=OP+OQ-2r.若a<0,则式②变为

6、2+3a

7、≥a.此不2222故OP+OQ-PQ=2r(定值).等式显然成立.(黄全福安徽省怀宁县江镇中学,故原不等式的解中含有数x=1-

8、a

9、的246142)1充要条件是a≤或a≥1.初232试求出所有的实数a,使得在关3于x的不等式

10、x-a

11、+

12、1-3x

13、≥a+1的又由1+

14、a

15、≠1-

16、a

17、,得

18、a

19、≠0,即解中,恰有两个不同的解到点1的距

20、离都为a≠0.

21、a

22、(在实数轴上).综上所述,所求的a为解:到点1的距离为

23、a

24、的两个数分别1a<0或0

25、a

26、和1-

27、a

28、.3(1)原不等式的解中含有数x=1+

29、a

30、(吴伟朝广州大学数学与信息科学学的充要条件是院,510006)高231已知a、b、c为满足a+b+c=

31、1+

32、a

33、-a

34、+

35、1-3(1+

36、a

37、)

38、≥a+1,1的正数.求证:即

39、

40、a

41、-a+1

42、+

43、3

44、a

45、+2

46、≥a+1.①显然,

47、a

48、-a+1>0,3

49、a

50、+2>0.则1+bc+1+ca+1+ab≥23.abc式

51、①证明:由均值不等式得Z(

52、a

53、-a+1)+(3

54、a

55、+2)≥a+1ca+ab≥2a,ab+bc≥2b,Z4

56、a

57、+2≥2a.bcca而上式显然成立,故原不等式的解中必bc+ca≥2c.ab包含数x=1+

58、a

59、.以上三式相加,整理得(2)原不等式的解中含有数x=1-

60、a

61、的充要条件是bc+ca+ab≥1.abc

62、1-

63、a

64、-a

65、+

66、1-3(1-

67、a

68、)

69、注意到≥a+1.②61bccaab若a≥0,则式②变为31+a+1+b+1+c36

70、2a-1

71、+

72、3a-2

73、≥a+1.③≥bccaab下面分三种

74、情形讨论.1+a·1+b·1+c1bccaab(i)若a≤,则式③变为=1+1+1+2abc1bccaab2221-2a+2-3a≥a+1]a≤.=1++++a+b+c+abc3abc126bccaab222所以,0≤a≤.=1++++a+b+c+327abc212211(ii)若