唯一分解整环上的局部结构①

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1、总29卷第2期数学研究Vo1．29No．21996年6月JournalofMathematicalStudyJtm．1996唯一分解整环上的局部结构①陈焕艮(湖南师范大学数学系，长沙410006)摘要利用局部化环，给出了环为唯一分解整环的充要条件，推广了A瑚I曲d时等人的结果．关键词PJcard群，凝聚环．正则环文[1]证明了正则局部环是唯一分解整环．文[2]推广了上述结果，得到了连通的正则半局部环是唯一分解整环．由于连通的半局部环是PF环，所以文[3]中考虑了更广泛的PF环的唯一分解性，并得到了正则PF环也是唯一分解整环．本文中，我们利用多项式环上的局部化环，给出了唯一分解

2、整环的特征性质，进而推广了上述结果．作为应用，我们给出了凝聚环以及低维环的唯一分解性．设fE]，不妨记为一o+l+⋯+，q∈R，则记山一(⋯，)一的系数生成的理想·令一{，∈]I山一)，由于=R]一U{[]lMEMaxR)，所以为]的一个乘法闭子集，记R()=R]I．定理1下列两款等价：(1)R为唯一分解整环；(2)R为具有平凡Picard群的连通环且可构造一个环类U，使得；()REU；()若s∈U．则()∈；(-)若∈U且∈PF，则为唯一分解整环．证明(1)(2)因为R为唯一分解整环，由文献[儿]引理3．5知R为Krull整环，因此a(R)一0．又因为对于Krttll整环，

3、PieR可视为CI(R)的子群，从而Pier=1，即R具有平凡的Pieard群．又由于R为整环，显然R为连通环．取U为所有唯一分解整环所成环类，显然满足(-)，()．又根据文献[6]定理5．3知：若∈U，则为兀_整环，故()∈U．(2)(1)因为R为连通环，根据文[6]定理2．4知：R()中的幂等元都含在R中，所以R()为连通环．注意到R0)为带许多单位的环．从而对任何P∈P(R())，存在幂等元e～．％∈()，使得P~R(z)el0⋯00)％，由于一0或1，故P∈(())，即()为PF环．又因为REU，根据条件()知R()∈U，从而R()为U中的卵环，再由条件(谢)知R()

4、为唯一分解整环，从而有：cl())一0．根据文[6]定理5．2(2)知有短正合列：D—Pfc一a(聊cl(())0，又由PicR=1知：CKR)一a0))=0．又因为R()为唯一分解整环，所以R()也是KruU整环，从而R一昂()nK也是Kmn整环，这里K为R的分式域．注意到对于Krull整环R，R为唯一分解整环等价于a(R)=0．从而①本文于1995—9—30收到第2期陈焕艮：唯—分解整环上的局部结构R为唯一分解整环．推论1设R为正则环，则下列两款等价：(1)R为有限个唯一分解整环的直和；(2)PieR=l'证明(】)(2)设R20⋯0，危为唯一分解整环，所以PicR~l，

5、l≤l≤m_从而PicR~PicR】0⋯~PicR=1．(2)(1)由于R为Noether环，所以存在连通环飓(1≤t≤m)，使得R2R10⋯0，显然见仍为正则环．叉因为l=PicR~PicR】0⋯GPicR．，所以PicR,=l，l≤≤m．令={8I8为正则环)．若8∈U，则8为Nocthcr环，从而s[z]也为Noether环，救8(z)也是Noe~'3er环；叉由gl，dim(z)≤gI'd8[￡]≤g1．dtm~+l

6、最为连通环且PicR—l，根据定理l知R为唯一分解整环，l≤≤；从而肥=R0⋯0为有限个唯一分解整环的直和．作为推论，我们有：推论2设R为连通正则环，则下列两教等价：(1)R为唯一分解整环；(2)PicR~1．推论3设R为正则环且有环同构KoR~Z，则R为唯一分解整环．我们知道，交换环R称为PT环，如果R上的幂等矩阵都可在相似变换下对角化，这是一类应用广泛的环类，如局部环、有限环、半完全环、半局部环、Ⅳ正则环、零维环、带许多单位的环、PF环等都是PT环；特别地，PT环上的幂级数环仍为PT环．注意到PT环具有平凡Picard群，有：推论d设R为正则PT环，则R为有限个唯一分解整

7、环的直和．进一步地，把Nocther条件推广到凝聚性．定理2设R为凝聚环且w．g1．dimR