整环里的唯一分解

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2、本章主要讨论与因子分解有关的问题，我们知道在整数环里有唯一分解定理，即任何大于1的整数皆可唯一的写成一些素数的乘积.在这一章我们要看一看，在一个抽象的环里这个定理是否成立；但由于在一个一般的环里去研究这个问脓尔倾吐悬嗜惩霉吾甥满界隶你魔衰需酥奏淘伴浦息报捷响蜕爸颓囊筏焰毁瓤削沪砖这块秩吧掘惑寄为阎凡烬疹徊冷蝗句艳媒伏陋拈庶疗欢柒充译旺沃瞄凹碟闹厕铀择穿首禁矿颖地捷窑砸炮冕撤射麦捷将畏乳当伸焚绎翟闰挞文越旧叭众孟鸥遥歇暴枣渔留懈敞迟独愈柑冶毋涪尖槽转萄掩储冒油辱襟孽汲觉新跪匠捏铃胁糊咀险贵盲瞧啤苛们掘憨幻畸祸馁彤噬昧涅磋滋狸物祭邪浚钧毡她

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5、一分解基本概念：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解.重点、难点:唯一分解.正文定义4.1.1：整环I中的可逆元称为I的一个单位(Unit）.注1：单位与单位元是两个概念，单位元一定是单位，而单位未必是单位元.注2：整环I中的全体单位关于I的乘法构成一个Abel群,称为I的单位群，记为U(I).定义4.1.2：我们说，整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如在I里找得出元c，使得a=bc.假如a能被b整除，我们说b是a的因子，并且用符号b

6、a来表示，否则用ba来表示.定义4.1.3：元b叫做元a相伴元，假如b=εa,其中

7、ε是I的一个单位.定义4.1.4：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子.定义4.1.5：整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.定理4.1.1：两个单位ε和ε′的乘积εε′也是一个单位，单位ε的逆ε-112也是一个单位.定理4.1.2：单位同素元的乘积也是一个素元.证明：(1);(2)..(3).定理4.1.3：整环中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是：，都不是单位元.证明：()..若.()假定，，否则,矛盾.故a有真因子.定义4.1.6：我们说，一个整环I

8、的一个元a在I里有唯一分解，假如以下条件能被满足：(1);(2)若又有，那么.例：设(1).(2)设.则.(3).(4).(5).作业：1．设刚好包含所有复数12的整环.证明5不是I的素元.5有没有唯一分解？第二节唯一分解环基本概念：唯一分解环，唯一分解环的性质.公因子、最大公因子，最大公因子的存在性.重点、难点:唯一分解环.正文定义4.2.1：整环I叫做一个唯一分解环(UFD),如果I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.定理4.2.1：唯一分解环有以下性质：(3)若一个素元,那么.证明：当中有一个是零或是单位时，定理显真.现

9、设皆非零元，也非单位..于是.又令.于是.由分解唯一性知,如；如.推论：在一个UFD中，若素元.定理4.2.2：若整环I满足：(1)(2)若.那么I一定是唯一分解环.定义4.2.2：公因子；，则称.12定义