整环上的Kaplansky变换

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1、部分符号说明咒整环兄＼0R减去0∈(岳)属于(不属于)三(∈)包含(包含于)C(S)真包含于至(垡)不包含(不包含于)n(U)交(并)圆张量积∑和V对每一个<(主)真小于≥(≤)大于或等于(小于或等于)r指标集√7理想，的根alba整除bhtP素理想P的高度di：m(R1R的Krull维数t-dim(R1R的乒维数Z整数环Spec(R1R的素谱Max(R1R的极大理想的集合w-Spec(R1R的W一素谱训一Max(R1R的极大廿理想的集合R／PR关于理想P的商环—w-Ma—x(R)"一Max(R)的闭包第iv页，共52页引言1900年，著名数学家D．Hilbe

2、rt在巴黎召开的国际数学家代表大会上提出了二十三个问题．其中第十四个问题是关于“某些完备函数系的有限性的证明”，即假设后是一个域，z1，z2，⋯，z。在后上线性无关．若上是k(x1，z2，⋯，z。)的一个包含％的子域，则环％陋-，zz，·一，z。】nL在％上是有限生成的吗?此后，Hilbert的第十四个问题受到广泛关注，且被推广为如下形式．即假设k是一个域，z1，现，⋯，z。在k上线性无关．若G是GL(n，％)的一个子群，则多项式环k[x1，Xz，⋯，z。】的不变子环k[xl，z2，⋯，z。】G在七上是有限生成的吗?1954年，Zariski又以如下形式将Hi

3、lbert的第十四个问题推广为Zariski问题．即假设七是一个域，A是一个有限生成且整闭的肛代数，其商域为K．若L是Ⅳ的一个包含k的子域，则AnL是一个有限生成k代数吗?1956年，M．Nagata在[1】中提出了理想变换的概念．即假设J是整环刷拘一个非零理想，称R的一个扩环TR(，)=【J陋：，n】n≥1为理想j关于尉拘理想变换，也ⅡqNagata变换．理想变换对Nagata的关于Hilbert的第十四个问题的研究是非常有用的．比如在他的文章【1】，[2】，【3】，【4]及[5】中就有所体现．在某些特定情况下，D．Hilbert，E．Fischer，E．N

4、oether及H．Weyl对Hilbert的第十四个问题作出了肯定的回答．比如f5]；当tr，degkL≤2时，Zariski对于推广的Hilbert的第十四个问题，即Z盯i8ki问题也给出了肯定的回答；然而在1957年，D．Rees在[6】中给出了当tr．degkL=3时的一个反例；两年后，Nagata在[2】中当tr．degkL=4时对于Hilbert的第十四个问题又给出了一个漂亮的反例．理想变换的意义之所以重大，还表现在咀下几个方面．首先是理想变换与Zariski域的关系．我们称～个给定的域k的一个有限生成域扩张L为％上的一个Zariski域，是指对每个

5、具有商域为K的有限生成且整闭的k一代数A其中K≥L有AnL是一个有限生成七一代数．从而，工是一个Zariski域当且仅当对第1页，共52页引言每个具有商域为L的有限生成且整闭的舡代数B，有理想变换，b(，)在B上是有限生成的，其中，是B的任意理想；其次，理想变换在交换代数的其它内容中也被证明是非常有用的．比如，Nagata在[7】中还注意到了理想变换TR(J)可被用来研究Catenax=5r链条件；Brewer在(8J中为了研究一个整环的扩环也介绍了理想变换；在此之后，几个学者又在[9】及【10l等多篇文章中通过相关方法对扩环作了进一步研究：不仅如此，在非整环

6、的情况下，理想变换也得到了深入的研究．比如，关于珏(，)何时是有限生成的，平坦的，或在且上整的问题都已被许多学者研究过；与此同时，理想变换还与局部上同调及素谱的开子空间的仿射紧密联系在一起．哪flHartshorne，Serre，Arezzo-Ramella及Ohi分别通过【11】，f12]'【13】及【14】对此作了讨论。然而，在Noether环以外的情况下，由Nagata定义的理想变换的性质并不尽如人意．例如，在扩环的研究中，Brewer和Gilmer在f91中得到了完整的刻画，而当考虑到关于有限生成理想的理想变换时，在通常情况下只得到了部分结果(和猜想)

7、；在Noether环的情况下，Spec(TR(功与D(I)：={PESpec(R)lP砻n之间能够建立～个概型同构．但若兄是非Noether整环时，Spec(Tn(I))与D(』)之间是不同构的．而此时Kaplansky变换弥补了这一缺陷，即当R是一个非Noether整环时，Spec(n凡(驯与D(J)之间能够建立一个概型同构．在1974年，著名学者Kaplansky在f15】中定义了同拘扩环nR(jr)={z∈KI对任意a∈I，存在正整数n=n(n，z)，使得：ga“∈IR}，这个扩环在【10】中被称之为理想』关于用拘Kaplansky变换．在不会引起混淆的

8、情况下，我们将QR(』)与2k(，)分