有微观联系的股票择好期权定价

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1、第３８卷第５期上海师范大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．３８，Ｎｏ．５２００９年１０月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｇｈａｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）２００９，Ｏｃｔ畅有微观联系的股票择好期权定价何进峰，任学敏（同济大学数学系，上海２０００９２）摘要：目前对于择好期权的定价研究，大多没有考虑原生资产收益率之间的微观联系，使得定价结果可能偏离真实价值．基于此考虑，给出了两家具有微观联系的上市公司股票的数学模型，在此模型基础上利用ｄｅｌｔａ对冲推导出择好期权满足的ＰＤＥ，通过计价单位转换的方法求出择好期权的定价公式，分

2、析了股票间微观联系对择好期权的价格影响．关键词：定价模型；微观联系；择好期权中图分类号：Ｆ８３０．９文献标识码：Ａ文章编号：１０００-５１３７（２００９）０５-０４６４-０５０引言择好期权是多资产期权的一种，其价格取决于多种原生资产价格的变化．股票择好期权的持有人在到期日有权取得股价表现最好的那只股票．例如，某投资人拟投资股票A和股票B，但他无法肯定未来哪一只股票的回报更高．为此他购买一张择好期权，确保在期权到期日能取得两只股票的最佳回报，同时可以规避因只购买一只股票所带来的风险．目前对于择好期权的定价研究，大多只考虑原生资产收益率之间的宏观相关

3、性，而忽视了它们可能存在的微观的相关性，如上市公司之间互相持有股票，其股票价格必定相互影响，呈现齐涨共跌．忽略这种微观的相关性，会使得定价结果可能偏离真实价值．文献［３］给出了n个风险资产Si（i＝１，２，⋯，n）都遵循几何布朗运动，且每个随机元ｄWi（i＝１，２，⋯，n）互相独立情形下的择好期权的模型和定价公式．该模型并未考虑到股票之间可能存在的微观联系对择好期权价格的影响．基于此考虑，本文作者给出了两家具有微观联系的上市公司的股票的数学模型，同时考虑股票的宏观和微观相关性，并应用于择好期权的定价问题．运用无套利原理推导出两资产择好期权所满足的

4、方程，并给出择好期权的定价公式．１模型的建立r为无风险利率，Si（t）（i＝１，２）是两家上市公司发行的股票价格，若忽略股票之间的微观联系，则可假定其遵循如下几何Ｂｒｏｗｎ运动：ｄS１t＝μ１ｄt＋σ１ｄW１S１．（１）ｄS２t＝μ２ｄt＋σ２ｄW２S２收稿日期：２００９-０５-１２基金项目：国家“９７３”重点基础研究计划资助项目（２００７ＣＢ８１４９０３）；国家自然科学基金资助项目（１０４７１１０６；１０６７１１０３）．作者简介：何进峰（１９８５－），男，同济大学数学系硕士研究生；任学敏（１９６２－），男，同济大学数学系副教授．第５期何进峰，任

5、学敏：有微观联系的股票择好期权定价４６５t其中μi（i＝１，２）是第i只股票的期望收益率；σi（i＝１，２）是第i只股票的波动率；Wi（i＝１，２）是tt标准Ｂｒｏｗｎ运动，相关系数为ρ＝ｃｏｖ（ｄW１，ｄW２）．考虑股票之间的微观联系，即第一只股票的收益率会受第二只股票收益率的影响，反之亦然．在模型（１）中加入股票之间的微观影响，那么股票价格遵循如下模型：ｄS１tｄS２＝μ１ｄt＋σ１ｄW１＋ε１S１S２．（２）ｄS２tｄS１＝μ２ｄt＋σ２ｄW２＋ε２S２S１ｄS２ｄS１ε１，ε２为微观影响因子，ε１为第２个股票收益率对第１个股票收益率的影响

6、项，ε２为第１个股票收S２S１益率对第２个股票收益率的影响项．例如，A公司持有B公司一定数量股份，B公司的股票价格上涨会致使A公司盈利增加，从而A公司股票价格相对增大．B公司股票收益率对A公司股票收益率的微观影响因子由A公司持有B公司股份数量，A公司股份结构共同决定．对（２）式变形可得：ｄS１μ１＋ε１μ２σ１tε１σ２t＝ｄt＋ｄW１＋ｄW２S１１－ε１ε２１－ε１ε２１－ε１ε２．（３）ｄS２μ２＋ε２μ１ε２σ１tσ２t＝ｄt＋ｄW１＋ｄW２S２１－ε１ε２１－ε１ε２１－ε１ε２μ１＋ε１μ２μ２＋ε２μ１σ１ε１σ２ε２σ１令μ′１＝，

7、μ′２＝，σ１１＝，σ１２＝，σ２１＝，１－ε１ε２１－ε１ε２１－ε１ε２１－ε１ε２１－ε１ε２σ２σ２２＝，则（３）式化简为：１－ε１ε２ｄS１tt＝μ′１ｄt＋σ１１ｄW１＋σ１２ｄW２S１．（４）ｄS２tt＝μ′２ｄt＋σ２１ｄW１＋σ２２ｄW２S２tt由ρ＝ｃｏｖ（ｄW１，ｄW２），（４）式可表示为：ｄS１＝μ′１ｄt＋γｄW１S１，（５）ｄS２＝μ′２ｄt＋δｄW２S２２２２２其中γ＝σ１１＋２ρσ１１σ１２＋σ１２，δ＝σ２１＋２ρσ２１σ２２＋σ２２，Wi（i＝１，２）是标准Ｂｒｏｗｎ运动．设V是基于股票价格S１，S２的欧式择好

8、期权价格，它是３个变量S１，S２，t的函数：V＝V（S１，S２，t）．（６）［３］构造投资组合Π：Π＝V（S１，S２，t）－Δ１S１－Δ