α-链对角占优矩阵与非奇异h-矩阵的判别

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1、第1O卷第16期2010年6月科学技术与工程Vo1．10No．16June20101671—1815(2010)15·3918—04ScienceTechnologyandEngineering⑥2010Sci．Tech．Engng．Ot一链对角占优矩阵与非奇异日一矩阵的判别王明刚宋岱才刘晶(辽宁石油化工大学理学院，抚顺113001)摘要设A=(％)∈C，若存在∈(0，1)，使Vi∈N，1aI≥(A)S(A)，则称A为链对角占优矩阵。利用链对角占优矩阵、不可约链对角占优矩阵、广义链对角占优矩阵等概念及性质，给出了非奇异矩阵几个简

2、洁的判定条件。进一步丰富和完善了链对角占优矩阵与判别非奇异矩阵的理论，为相关领域如矩阵论、控制论、经济数学等提供了理论研究基础。关键词链对角占优矩阵不可约矩阵非奇异日一矩阵中图法分类号0151．21；文献标志码AⅣ2={iIIn1>(A)Is(A)}，1记号．定义及引理t一R(A)．s(A)Ⅳ2I‰I吉在矩阵分析中，矩阵是目前研究的热门课题定义1设A=(n)∈C，若存在a∈(0，之一¨_’。’，这主要是因为它的实际应用性很强。比1)，使ViEN，有如对于线性方程组AX=b，当系数矩阵A为月

3、-矩InI≥R(A)S()(1)阵时，

4、常用的迭代法均是收敛的。但在实际判别矩则称为链对角占优矩阵，记为A∈D。()。若阵A是否是日一矩阵时，因许多条件本身的表现形A∈D。()为不可约，且式(1)中至少有一个严格式及其计算比较复杂，致使很难判别，因此寻找一不等号成立，则称A为不可约一链对角占优矩阵，个行之有效且易于判别的判定条件是非常有意义记为A∈ID。()。若式(1)中每个不等号都是严的。现在在文献[5]的基础上给出了判定日一矩阵格的，则称A为严格～链对角占优矩阵，记为AE的一个新方法。D(O1)。若存在正对角阵D，使ADED()，则称A设C表示凡阶复方阵集合，引人

5、下列记号：设为广义严格一链对角占优矩阵，记为A∈CD(a)。N={1，2，⋯，n}，当A：(o)∈C时，由于若存引理1⋯A=．(0)∈C，若A为广义严格在i∈N使得口=0，则矩阵A不可能为链对角Ot一链对角占优矩阵，则为非奇异一矩阵。占优矩阵，故在对所有i∈N，都有。≠0的假设下弓l理2A=(Ct)∈C，Vi∈N，a“≠0。EN讨论问题。对Ot∈(0，1)，记R()=∑f口iI，若满足下列条件之一，则为非奇异日一矩阵。EN(1)A是严格一链对角占优矩阵；Si(A)=∑iIl，Ⅳ={i10

6、对角占优矩阵。(A)}，引理3l9设A=(n，)∈C，A为广义严格对角占优矩阵的充分必要条件是A为非奇异日一2010年3月16日收到辽宁省教育厅高校科研项目(2004F100)矩阵。国家自然科学基金(20273028)资助第一作者简介：王明刚(1985一)，男，辽宁沈阳市，硕士生。}通信作者简介：宋岱才，E—mail：sdcl@163．tom。16期王明刚，等：a一链对角占优矩阵与非奇异矩阵的判别3919rla,iI-[r。·+EN2d—nt】一nc，)≥2主要结果d卜【R(A)()一R(A)s一()]=0。定理1设A=(aij

7、)∈C‘，∈(0，1)，若对这样对Vi∈N有I6l>R(曰)s(B)，即Vi∈N有B∈D()，所以A∈GD(O1)，由引理1知是非奇异日一矩阵。RI(A)>∑-+，∑(2)『aj／I定理2设A=(a)∈C为不可约的，Ol∈成立，则A是非奇异H一矩阵。∈Nl∈N2(0，1)，若对Vi∈N有Ri(A)≥∑证明若满足式(2)，可知∑f口I≠0，这样必存在正数d满足l+『(3)II’一f成立，则A是非奇异一矩阵。证明若A满足式(3)，同样可以推出当咖————————一—一>d>，，f—RiE~。EN2∑I∑l口I≠0，今取正数d满足j#

8、i角矩阵D：diag{dId：．，∈Ⅳ；10“1i()一∑．d=d，i∈Ⅳ2}，记B=AD=(b)。mln∈NJ』V2Vi∈N，有lbI—R(B)S(B)=∑I取正对角矩阵：diag{：—Ri(A)STa-(A)—__广，Iaila]i∈Nl；d=d，i∈N2}，记B=AD=(6)，v∈，f6l—g(B)Sl一(B)：l-a『s一“ct，[1一n-[]一d。I一[∑I。』+∑三dI口I]．s一口-卜。)>c，[]一d=[】一[门)]=0．Vi∈N2时，fbI—RT(B)S()=[『{一[至：+丁≥dla．I一LjcN哗lafl+

9、≠，lJ1“[]l-olccA，s一ncA一cAs一aS(A)d=d卜(A)]=0。-一-+叫一nVi∈^时，『bI—RT(B)S一()=dIaI—3920科学技术与工程10卷[∑!I。l+∑乎dI口l】

10、s：一n(A)d卜=d卜[JI21：．430679170