对角占优矩阵奇异-非奇异的充分必要判据

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1、金继东：对角占优矩阵奇异一非奇异的充分必要判据2Taussky定理及其推论文中若无特别说明，一律假定所讨论的矩阵A=【n】∈c，其中c是复数域，I．1为复数的模定义2．1(1)矩阵A=[aij]∈c，如果满足(2．1)则称是行对角占优矩阵．i行取严格不等号，则i行为严格对角占优行；i行取等号，则i行为非严格对角占优行．如果A的所有行都是严格对角占优行，则称为行严格对角占优矩阵；如果的所有行都是非严格对角占优行，则称为行弱对角占优矩阵．(2)矩阵A：[aij】∈c，如果满足≥∑0一∑=0一叼则称A是行平衡矩阵；

2、实数域上的行平衡矩阵A=[a{】∈n×”称为仿射矩阵．=对列可以作类似的l_定义．如果矩阵A：∈cn×n不仅关于行是对角占优的而且关于列也是对角占优的，则称为行他列双对角占优矩阵；如果矩阵=[oij]∈cn×n不仅关于行是平衡的而且关于列也是平衡的，则称n为行列双平衡矩阵．定义2．2矩阵A=[ai]∈Cn×n给定，简单有向图F(A)：(，A)称为矩阵的伴随有向图，其中V={仇li=1，⋯，n)是F(A)结点的集合，={v，vj)∈V×Vlaij≠0)是F(A)边的集合．定义2．3矩阵的伴随有向图r(A)=(，

3、M)是强连通的，则A是不可约的；否则就是可约的．关于不可约对角占优矩阵有以下著名的Taussky定理[15】】．定理2．1(Taussky)A=[aj]∈×n是不可约对角占优矩阵．如果存在严格对角占优行，则是非奇异的．22．1可约对角占优矩阵的Frobenius标准型2是方阵，则存在置换矩阵P，使得A1100pTAP：(2．3)As+1．1As+．1分块矩阵(2．3)称为的Frobenius标准型[22-24]，其中对角块App(P=l⋯．，s+k)为不可约方阵(I、(pp)是r()的强分量一极大强连通子图)

4、，称为A的Frobenius块．的Frobenius标准型(2．3)1166中国科学：数学第44卷第11期有以下特点：JApq0，Vq≠P，P≤s，r。d、IApq≠0，qs．因此，称11，⋯，。为A的独立Frobenius块，s+1，卧1，．．．，As+k,s+k为的非独立Frobenius块．文献f19—211给出了以下结果．推论2．1对角占优矩阵的非独立Frobenius块是非奇异的．4是奇异的当且仅当的独立Frobenius块中至少有一个是奇异的．证明假设(2．3)是矩阵的Frobenius

5、标准型，是的非独立Frobenius块．是对角占优的，因此，pp是对角占优的．App是A的非独立Frobenius块，根据(2．4)，存在q

6、推论2．1将一般(可约)对角占优矩阵的奇异一非奇异性化为其所有独立Frobenius块的奇异一非奇异性．由于Frobenius块不可约，因此也就将这种问题化为不可约对角占优矩阵的奇异一非奇异性．2．2不可约对角占优矩阵由定义立得Taussky定理的以下推论．推论2．2不可约对角占优矩阵A是奇异的，则是弱对角占优的．推论2．3不可约对角占优矩阵A=【af]∈Cn×n是奇异的，则RankA=n一1．证明修改a为。扪t使J>JaiiJ．修改后的矩阵的i行是严格对角占优行．根据Taussky定理，是非奇异的．据此可得

7、A除i行以外的各行是线性无关的．因此，RankA≥n一1．A是奇异的，则有RankA=n一1．口这意味着奇异不可约对角占优矩阵A∈Cn×n的任意一行均为其他n一1行的线性组合且线性组合系数均不为零．进而有以下推论．推论2．4不可约对角占优矩阵A∈C是奇异的，P=(P1⋯．，)，，y=(1⋯．，)T分别是A零特征根的左右特征向量，P和，y均不存在零元素．定义2．4P=(P1，⋯，P)和=(1⋯．，)T分别是矩阵A∈C“零特征根的左右特征向量．对角矩阵P=diag(p1⋯．，)和T=di~g(71，⋯，)分别称为

8、零特征根的左右特征矩阵．根据推论2．4，有以下结果．推论2．5奇异不可约对角占优矩阵A零特征根的左右特征矩阵P和T是非奇异的．3奇异不可约对角占优矩阵的相似性分析3．1平衡对角占优矩阵矩阵A=(aij]∈C的元素可以表示为aij=Iaijlei0~，，其中(aijI为n的模，e诏是aij的单位复数，为0的辐角．命题3．1矩阵A=[aij]∈是行对角占优的并且是行平衡的，则金继东：对角占优矩阵奇异．非