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1、模糊数学复习小结Saturday,June21,2008军事运筹与仿真教研室董长清第1章模糊集合的基本概念l模糊集及其表示定义1U上的模糊(Fuzzy)集A:U→[0,1]。模糊集A的扎德表达法定义2称为U上的Fuzzy幂集。l模糊集的运算定义1设A,B∈F（U）,定义A与B的并、交、补如下：(1)(2)(3)。定义2设(1)代数和；(2)代数积；(3)有界和；(4)有界积A⊙Ｂ。l模糊集与普通集的相互转化定义1设，，分别称，9/9为A的a(弱)截集与a强截集。定义2A的支撑、核、边界等。定理2（分解定理）设A是U上的模糊集，则。即，有第2章模糊集的数量指标基本
2、概念：l高度、深度、基数；l均值、方差；l模糊度，模糊距离、贴近度；l最大隶属原则、择近原则。定义1.设A是U上的模糊集，高度深度基数，相对基数定义2.设A是U上的模糊集，定义均值方差9/9§2.3模糊度基本准则：A越接近0.5,则A的模糊度越大。定义2若，令若，令则分别称与为Ａ的海明模糊度与欧几里德模糊度，简称为L-模糊度与R-模糊度。§2.4两模糊集的距离海明距离dH(A,B)；相对海明距离§2.5两模糊集的贴近度（一）海明贴近度（二）欧几里德贴近度（三）格贴近度Dg(A,B)（四）最小最大贴近度第8章模糊模式识别定义1设，，，若存在i0，使9/9则称元素u
3、0相对属于，这就是最大隶属原则。定义2设,,若存在i0，使则称Ｂ与最相似，即判断Ｂ属于一类，称为择近原则。第三章模糊关系基本概念：l模糊关系，模糊矩阵，模糊图及其最大生成树；l两模糊关系的复合；l模糊矩阵的并、交、补；l模糊矩阵的复合运算；l自反，对称，传递；相似,等价l模糊聚类分析。§3.1模糊关系及其运算定义3-1称U×V上的模糊集R为U×V上的模糊（二元）关系。定义3-3设RÎF（U×V），称RT为R的转置（倒置、倒逆）关系，其中定义3-4设RÎF（U×V），SÎF（V×W），称RëS为R与S的复合关系，其中,自反，对称，传递;相似,等价§3.2模糊矩阵定
4、义3-11模糊矩阵的并、交、补、复合运算9/9(1)(2)(3)(4)，其中记。定义模糊矩阵的截集矩阵；模糊矩阵的自反矩阵、对称矩阵、传递矩阵、相似矩阵、等价矩阵等。传递闭包§3.3模糊图无向图。模糊（无向）图(最大）生成树三、模糊聚类分析1.标定——建立相似关系2.进行聚类分析，求动态聚类图最大生成树法（直接分类法）3.结果分析，获取有用信息第4章模糊关系方程模糊综合评判§4.1模糊关系方程的一般讨论最大最小型模糊关系方程定理1设,，（1）有解=ATB为其最大解。（2）有解，。9/9若V为独点集，则等号成立。§4.3一类特殊模糊矩阵方程的解法定理1设，令，（1
5、）为的极小解。（2）设，，则恰有个极小解。（3）有最小解或。§4.4模糊矩阵方程的的解法定义简化矩阵简化方程过渡矩阵紧凑矩阵定理1(有解)(有解)的每一行都有保留元．定理２且．▋由求的极小解的方法：1.在A*的每一行选取一个保留元，按列取最大值，转置后即为拟极小解．2.对所有拟极小解进行筛选（即删去相同的或非极小解），可得全部极小解．选取原则Ⅰ：设1.任选（即遍历）．2.若，不选；否则任选．3.设；若,不选；否则任选．4.继续下去便选好或记为．§4.6模糊综合评判综合评判一般步骤：1．建立评判对象的因素集U={u1,…,um}.2．建立评判集V={v1,…,vn
6、}.3．建立单因素评判矩阵R=(rij)ÎF(U,V)，称（U，V，R）为评判空间。4．综合评判。对各因素赋予不同的权重，即A=(a1,…,am)，于是综合评判为9/9B=AëR=(b1,…,bn)此时，可视B为V上的一个模糊集，再按最大隶属原则确定评判结果。二次模糊综合评判（二阶综合决策）1.取平均2.取最大3.取最小再一次评判，采用方法1，即平均法。这也是主因素突出型。二层次综合模型，当因素较多时，将其分割为若干块（如t块）进行第一层综合评判，即再进行第二层综合评判，取权重A=(a1,…,am)则有B=AëR，其中R=（B1,…,Bt)第五章扩张原理与模糊数
7、定义1（扩张原理）设,A∈F(U),B∈F(V)，定义集映射如下：定义2或简便求法：一般：离散型9/9或者连续型：定义3设A∈F(U),称A为凸F集，若u1，u2U,,有定义4称R上的正规凸F集称为F数主要结论(1)实数集上的模糊集A为模糊数的充要条件是：u0R，A在(－∞,u0)↑,在（u0，+∞）↓，且(2)实数集上的模糊集A为模糊数的充要条件是：Aa为区间（普通凸集）,"aÎ[0,1]。定义9设L,R为参照函数（即，在（0，¥）上单调不减，且为偶函数），且L(0)=R(0)=1,若其中，a>0,b>0为常数，则称A为L-R型凸模糊集，简记为A=(m,a,b
8、)LR；特别，若L(x)
