说题书面材料

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1、思维需要锻炼，方法没有界限——一道中考题给我们带来的收获题目：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．（1）求证：点E到AC的距离为一个常数；（2）若AD=，当a=2时，求T的值；（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．窗体顶端一、说背景1、题目来源：2013年南通市数学中考试卷第27题2、设计思路：这道题既是一道运动综合性问题，又是一道相似综合型问题。其中考查了学生对解直角三角形的基础知

2、识的运用，等边三角形的有关性质，相似的性质定理，平行四边形的性质，不规则图形的转化等等。让学生在一道“点”动导致“面”动的问题中，充分运用几何知识解决问题。二、说题目1、已知条件（1）∠ACB=90°，AC=，BC=3（2）△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形（3）DE∥AB2、难点：在第（3）问中，根据题意，需分类讨论。可能在分来讨论的过程中出现漏解，不知该分哪几类。3、隐含条件：△ADM为等边三角形，∠CDE=60°.，四边形MDEN是等腰梯形。NM7/7三、解题策略第（1）问：提示“距离”来做辅助线，说到点到直线的距离应作“垂直”。解法一：如图1（1）

3、由题意得：tanA===，∴∠A=60°．∵DE∥AB，∴∠CDE=∠A=60°．如答图1所示，过点E作EH⊥AC于点H，则EH=DE•sin∠CDE=a•=a．∴点E到AC的距离为一个常数．解法二：（1）过点D作DI⊥EF于点G，过点E作EH⊥AC于点H。∵△DEF为等边三角形∴FI=EF=a,∠IDE=30°在Rt△DTF中，∠IDE=30°∴DI=a∵易证四边形DHEI为矩形∴DI=EH=a（对于某一部分学生来说可能想不到用锐角三角函数，而是直接利用等边三角形的性质和直角三角形的有关定理来求出DI，通过矩形的性质来求出点E到AC的距离。）7/7总结：题目的第（1）问

4、关键在于“距离”让学生联想到辅助线，运用三角函数和等边三角形的性质来解决问题。第（2）问：提问C怎么表示？其中已知什么？未知什么？猜想DM与EN有什么数量关系？如何证明？解法一：若AD=，当a=2时，如答图2所示．设AB与DF、EF分别交于点M、N．∵△DEF为等边三角形，∴∠MDE=60°，由（1）知∠CDE=60°，∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°，又∵∠A=60°，∴△ADM为等边三角形，∴DM=AD=．过点M作MG∥AC，交DE于点G，则∠DMG=∠ADM=60°，∴△DMG为等边三角形，∴DG=MG=DM=．∴GE=DE﹣DG=2﹣=．∵∠MGD

5、=∠E=60°，∴MG∥NE，又∵DE∥AB，∴四边形MGEN为平行四边形．∴NE=MG=，MN=GE=．∴T=DE+DM+MN+NE=2+++=．总结：该方法运用了转化的思想方法，由不规则转化为规则，这是我们几何中经常用到的思想方法。7/7解法二：∵△DEF为等边三角形∴∠MDE=60°，由（1）知∠CDE=60°，∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°，又∵∠A=60°，∴△ADM为等边三角形，∴DM=AD=∴MF=2﹣=∵DE∥AB∴∠FDE=∠FMN=60°，∠FED=∠FNM=60°∴∠F=∠FMN=∠FNM=60°∴△FMN是等边三角形∴FM=FN=

6、MN=∴NE=∴T=DE+DM+MN+NE=2+++=第（3）问：该问是难点在运动的过程中除了点动，还有△DEF的大小也不定。环节一：当点D运动到中点位置时，还有什么不确定？环节二：随着△DEF大小的变化，重叠部分的图形都有哪些形状？请先画图分类讨论。（教师可运用多媒体展示三角形变化过程中重叠部分图形的变化）环节三：根据图形确定a的取值范围。（3）若点D运动到AC的中点处，分情况讨论如下：①若0＜a≤，△DEF在△ABC内部，如答图3所示：7/7∴T=3a；②若＜a≤，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示：设AB与DF、EF分别交于点M、N，过点M作MG

7、∥AC交DE于点G．与（2）同理，可知△ADM、△DMG均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形．∴DM=DG=NE=AD=，MN=GE=DE﹣DG=a﹣，∴T=DE+DM+MN+NE=a++（a﹣）+=2a+；③若＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示：设AB与DF、EF分别交于点M、N，BC与DE、EF分别交于点P、Q．在Rt△PCD中，CD=，∠CDP=60°，∠DPC=30°，∴PC=CD•tan60°=×=．∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．由（1）知，点E到AC的距离为a，