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《2014年数学竞赛预赛(非数学专业）答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2014年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案一填空题(共有5小题,每小题6分,共30分)xx（1）已知ye1=和y2=xe是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___________.答案:y¢¢¢(x)-2y(x)+=yx()0[参考解答]由题设知该方程的特征方程有二重根r=1，故所求微分方程是y¢¢¢(x)-2y(x)+=yx()0.22（2）设有曲面S:2z=+xy和平面L:2x+20yz+=,则与L平行的S的切平面方程是________.3答案:2x+20yz++=2[参考解答]设P(x,yz
2、,)为S上一点,则S在P的切平面方程是00000-2x(x-x)-4y(y-y)+(zz-=)0.00000由于该切平面与已知平面L平行,则(--2xy,4,1)平行于(2,2,1),故存在常数k¹0使得00-13(-2x,-=4yk,1)(2,2,1),从而k=1.故得x=-1,y=,这样就有z=.所求切面方程是000002232x+20yz++=.2yx-2æöptdy（3）设函数y=yx()由方程x=òsinç÷dt所确定，求=.1èø4dxx=0答案:y¢=32æöp[参考解答]易知在y(0)1=.
3、对方程的两边关于x求导，得1=sinç÷(y--xy)(¢1),于是èø42æöpy¢=cscç÷(yx-+)1，把x=0代入上式，得y¢=3.èø4nk（4）设xn=å，则limxn=___________.k=1(k+1)!n®¥答案：1nnæö11k[参考解答]xn=å=åç÷-k=1(k+1)!k=1èøkk!(+1)!æ1öæ11öæö11æö111=ç1-÷+ç-÷+ç÷-+L+ç÷-=11-®.è2!øè2!3!øèø3!4!èøn!(nn++1)!(1)!11æöfx()x3fx()(5)已
4、知lim1ç÷+xe+=则lim=___________.x®0èøxx®0x2答案:21æöfx()x31fx()1fx()[参考解答]由lim1ç÷+xe+=知limln(1+x+=)3,于是有ln(1+x+)=+3,ax®0èøxx®0xxxx3xx+af(xe)1-其中a®®0(x0)即有=-1，从而，2xx3xx+af(x)e-+13xxalim=lim-1=lim-=12.2x®0xxx®®00xx1dæö1二(本题满分12分)设n为正整数,计算I=cosç÷ln.dxòe-2npdxxèø[参
5、考解答与评分标准]11ddæö111I==cosç÷lndxcos(lnx)dx=sinln.xdx……….…..(6分)òòee--22nnppdxxdxòe-2npèøx02npp/2令ln,xu=则有I=òsinudu=òòsintdt==4nsin4tdtn.………………(12分)-2np00三(本题满分14分)设函数fx()在[0，1]上有二阶导数，且有正常数AB,使得
6、f(x)
7、££A,
8、f"(xB)
9、.B证明：对任意xÎ[01,]，有
10、f¢(xA)
11、2£+.2[参考解答与评分标准]由泰勒公式，
12、有12f(0)=f(x)+f¢(x)(0-x)+f¢¢(xx)(0-Îxx),(0,),212f(1)=f(x)+f¢(x)(1-x)+f¢¢(hh)(1-Îxx),(,1),……….(5分)21122上述两式相减，得到f(0)-f(1)=-f¢(x)-f¢¢(hx)(1-+x)fx¢¢(),于是221122f¢(x)=f(1)-f(0)-f¢¢(hx)(1-+x)fx¢¢().…………(8分)22由条件
13、f(x)
14、££A,
15、f¢¢(xB)
16、，得到B22
17、f¢(x)
18、£2A+((1)-+xx).……….(1
19、1分)2222因x+(1-x)=2xx-+21在[01,]的最大值为1,故B
20、f¢(xA)
21、2£+.………..(14分)2p2四(本题满分14分)(1)设一球缺高为h，所在球半径为R.证明该球缺的体积为(3)R-hh，球冠3的面积为2pRh.2222(2)设球体(x-1)+(yz-1)+(-£1)12被平面P:6x+yz+=所截的小球缺为W.记球缺上的球冠为S，方向指向球外，求第二型曲面积分I=òòxdydz++ydzdxzdxdy.S2222[参考解答与评分标准](1)设球缺所在的球体表面的方程为x+y+
22、=zR，球缺的中心线为z轴，且设球缺所在圆锥顶角为2a.记球缺的区域为W，则其体积为RR222pòòòdv=òdzòòòdxdy=p(R-z)dz=-(3)Rhh.……(3分)3WR--hDzRh2由于球面的面积微元是dS=Rdsinqq，故球冠的面积为2pa22òòdjRsinqdq=2pR(1-=cosap)2Rh.…………(6分)00(2)记球缺W的底面圆为P1，方向指向球缺外，且记J=òòxdydz++y
