2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准和参考答案

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1、2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一1.已知可导函数满足,则解：在方程两边求导得,.从而由于，故。2．求解由于=。3.设具有二阶连续偏导数，且，其中为非零常数。则=_________。解:，，，。所以。4.设有二阶导数连续，且，则=______解：，所以。这样。5不定积分=________.解:由于。6.记曲面和围成空间区域为，则三重积分=__________.解：使用球面坐标。二（本题满分14分)设二元函数在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度，定义一元函数.若对任何都有且.证明是的

2、极小值.解：由于对一切成立，故,即是的驻点.-----4分记，则.-----10分上式对任何单位向量成立，故是一个正定阵,而是极小值.------14分三(本题满分14分)设曲线为在，，上从到的一段.求曲线积分解:记为从到的直线段,则，.-----4分设和围成的平面区域，方向按右手法则.由Stokes公式得到.------8分右边三个积分都是在各个坐标面上的投影面积，而在面上投影面积为零.故.曲线在面上投影的方程为.------12分又该投影（半个椭圆）的面积得知.同理，.这样就有.------14分四(本

3、题满分15分)设函数且在实轴上连续，若对任意实数，有，则，。证.由于，有。因此。------4分然而，其中.这样就有……(1)------10分即.注意到，和。-----13分把以上两个式子入(1)，即得结论。------15分五(本题满分15分)设为一个数列，为固定的正整数。若，其中为常数，证明。证明：对于，记。由题设，从而。------5分而。由题设知。------10分对正整，设，其中，从而可以把正整数依照分为个子列类。考虑任何这样的子列，下面极限，故。------15分