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《线性代数习题三》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题三3.解：(1)设A的行最简形矩阵为3,因为A：B,即A经过一系列初等行变换变为B,所以存在2阶可逆矩阵P,使得PA=B.根据PA=B^><=>P(AE)=(5P)o(AE)〜(5P)3、5丿PE=P⑵设屮的行最简形矩阵为C,因为〜C,即4丁经过一系列初等行变换变为C,所以(-5311110、<2-11：011、r)x2<2-11
2、01)<2-11；0b<-531'10丿<-1062；20丿如果对矩阵(AE)作初等行变换，当A变为B时,E就变成P,即为所求.SE)二勺+5斤(2-1I0］、'208:26、旷2<
3、104
4、13、(017125丿<017：25,<01725>0此时A的行最简形为而使得PA=B的2阶可逆矩阵P=4、7丿存在3阶可逆矩阵Q,使得QAr=C.rii001、(11I001><11I001)/jX40+7勺11中(7)110-401-30-4i01-3101I0-1/43/41,0284020丿,00；47-1；k00I47-1?0I0T0<01/4-1/471/4、3/4T丿(-52
5、100><11
6、00］、住-3“1001、3-110103-10100-401-311、11
7、001)一52100丿
8、/<07105丿如果对矩阵(AE)作初等行变换，当变为C吋,E就变成Q,即为所求.(A7；E)此时的行最简形为C=0,0(T1,而使得gAr=C的2阶可逆矩阵0丿‘01/41/4、Q=0-1/43/447-1)注意：r<10101/41/4、1<10120>3<10丨120、(”,E)〜01101-1/43/4010-1/43/401!3150<00；47-1)/<0047j丿<00I47-Jq0!120、0+(-1)01350卫0-4-71丿10、此时的行最简形为C=01,而使得=C的2阶可逆矩阵<00丿<120
9、、Q=350•<-4一71>由此可知，本题中使得二C的2阶可逆矩阵Q不是唯一的.相关的例子可参考课本P.64例1.5.(3)解法一：先计算,然后X=BA~].(A>CU、©解法二:若,则Q=BA'[t从而X=Q.(221-383077、-5r<1001322-1°)710.(3)错误解法：A=3-25800000140320丿<0000°丿利用(屮,B仃〜(E,P)，则P=(ArYiBT=(BAT[)tf从而X=pT.解法三:&‘因为行阶梯形矩阵4)有3个非零行,所以/?(A)=3因为在血屮可以找到非零子式0714=
10、14工0,217所以在4中可以找到非零子式2-3-5工03-20217错误原因：A屮子式2-3一5偏偏等于零.3-20行阶梯形矩阵的非零子式不能决定原矩阵非零子式的位置.11.证明：必要性由P.67定理2可知.充分性若A、B都是mxn矩阵，R(A)=R(B)=r,则A、B具有相同的标准形矩阵0、6因为A〜F,B〜F,所以根据等价关系的传递性，可得A-B.12.解:<1-23k、<1-23k、-23k、-12k-302伙-1)3伙-1)02伙-1)3伙-1)jk-23丿<02伙—1)3(1—疋)丿0-3伙-1)伙+2)
11、丿当Jt/l且2时，/?(A)=3当k=1时，/?(A)=1当£=一2时，/?(A)=215.解：设所求的齐次线性方程组为Ax=0,其中4是mxn矩阵.由通解的表达式不难看出，一共有四个未知数其中心，兀是自由变量，故〃R(A)=4—2=2,m>R(A)=2•itlxx,-2x3+2x4=0x2+3*3-4“-0显然x,-2x3+2x4=0与d+3x3-4x4=0不等价，此即为所求齐次线性方程组.19.证明：⑴充分性设存在非零列向量口及非零行向量胪，使得A=abT,于是/?(/!)<1.不妨假设0=(。]卫2，・・・，
12、4“)/，b=(b,b»…,b$,其中马工0,也工。.因为A=abT=(®W，所以A的(1,1)元afy0,从而/?(A)>1・于是7?(A)=1・( }(2)必要性设/?(A)=1,那么A的标准形矩阵为，且存在加阶可逆矩阵戶及/mxn(16几阶可逆矩阵0,使得A=PQ.于是I。0丿(1O}0z、TA=p[0OQ=P:(1,0,…，0)Q=q戻⑴其中a=P°,Z/=(l,0,…,0)Q分别为加阶非零列向量和斤阶非零行向量胪.20.错误解法一：根据课本P.70例题9以及R79.ll的结论，有R(B)=R(C)
13、,从而B~C,从而线性方程Bx=0与Cr=0同解.错误原因：因为AB=C,所以B、C未必是同型矩阵.若B、C不是同型矩阵时，不可能有B〜C成立.即使B〜C也未必能够推出庆=0与Cx=0同解，只有当B-C才能推WBx=0与Cx=0同解的结论.错误解法二：假设B兀=0与Cr=0同解，则Bx=Cx,从而(B-C)兀=0,又因为AB=C,且A是列满秩
