数值计算方法总复习

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1、数值计算方法总复习第一章算法与误差第二章非线性方程求解第三章线性代数方程求解第四章函数插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章當微分方程的数值解法Chap.1（1）关于数值计算方法，What,特点关于《数值计算方法》教窗才算方法是应用数学的一个分支,又称数值分析或计算方法,它是研究数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门科学，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。应用计算机解决科学计算问题包括以下几个过程：提出实际问题；建立数学模型；选用数值计算方法；程序设计和上机计算。可见数值计算方法是进行科学计算全过程的一个重要环节。计算机计算的特点：（1）运算速度快；（2）但只

2、能完成加、减、乘、除和一些逻辑运算。所以，各种复朵的数学问题T归结为四则运算9编程指令。把对数学问题的解法归纳为有加、减、乘、除等基本运算，并对运算顺序有完整而准确的描述的算法称为数值计算方法或简称数值算法。研究各种算法和和关理论的一门课程。§1.2误差一、误差的来源数分为两类：精确数（准确数、真值）；近似数/近似值。1）模型课差或描述误差2）测量误差（观测误差）3）截断误并（方法误并）4）舍入误差（计算误差）:数值计算关心的是截断谋差（方法谋差）和舍入谋差（计算谋差）二、误差限和有效数字1.误差限的定义设Z是准确值Z的某个近似值，如果根据具体测量或计算的情况，可以事先估计出误差的绝对值

3、不超过某个正数5即：IZ-Z

4、W£则称£为近似值的谋差限。或称在允许谋差£的情况下，结果z是“准确的”・1.误差限和有效数字在表示一个近似数时，常常用到“有效数字”，有效数字和谋差限都是用来定量表示误差的大小，且它们之间有对应关系。有效数字的定义：设数x的近似值T=0內兀2…乙xl（T,其中灯是0到9之间的任一个数，但力工0门二1,2,3.・・，n正整数，刃整数，若lx-x*l

5、法确定根的大致范围。（2）用迭代法一步一步将解精确化。迭代方法关于迭代法，谈几点相关的问题：a）利用迭代法计算方程的根，是建立在对方程的根已经有大致了解的基础上进行的。也就是已经知道方程的某个根的犬致位置，而迭代法只是起着把根的精确位置一步一步确定下来的作用。这就是所谓根的精确化。至于另一个问题，即根的存在、个数、分布等，一般说来是很困难的。不用说复杂的方程组，就是一个未知元的方程，除了多项式方程外，都没有什么一般性的结论。对于具体工程问题，可根据工程背景进行讨论。b）收敛速度即误差下降速度是衡量迭代法的一个重要准则，而迭代一步所花费的计算工作量也可用来作为一个衡量标准，从这二者来衡量得

6、到的结果往往是矛盾的。c）迭代法不仅可以用于含有一个未知元的方程，也可用于含多个未知元的方程组。(3)迭代格式的收敛判断条件：/(x)=O=>x=

7、、列主元素消去法；距阵分解法、LU分解法、平方根法、乔累斯基法。各种方法的适用范围。***能熟练运用增广距阵进行消去法求解运算，耍求步骤规范。Chap.4函数插值和曲线拟合1、熟练常握线性插值、抛物插值和拉格朗H插值多项式的形式，尤莫是基函数的组成和形式。2、会用上述插值法求解问题。3、熟悉埃特金逐步插值方法的步骤和每个插值函数的组成。4、掌握分段插值方法的特点，及插值点x和插值节点选取Z间的关系：插值点x越靠近插值节点，精度越高。5、掌握曲线拟合的原理及最小二乘法，及与函数插值的相同和不同Z处。以及正规方程组的含义。Chap.6数值积分1、熟练掌握基本的积分公式：两点公式(线性)、三点

8、公式(Simpson).五点公式(Cotes)o梯形公式：“爭［弘)+他］Simpson公式：S=+4/(c)+f(h)］o柯特斯公式：C=晋［7/(°)+32/(d)+12/(c)+32/(e)+7/(/7)］2、复化求积法。3、各种求积公式的误差特性。4、了解变步长求积公式一龙贝格算法。Chap.7常微分方程的数值积分(初值问题)熟练理解常微分方程的数值求解方法的根本思想及方法。1、欧拉法的递推型计算格式:儿+】=儿+僻(£，儿