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1、计算方法总复习第1章绪论误差及有效数字误差的传递、函数误差3误差和有效数字4误差估计56有效数字在工程上，误差的概念就转化为有效数字。789101.2.3函数值的误差估计第二章非线性方程的数值解法二分法一般迭代法Steffensen加速收敛法Newton法弦截法12二分法用二分法(将区间对平分)求解。令若，则为有根区间，否则为有根区间记新的有根区间为，则且13二分法对重复上述做法得且14由二分法误差估算式152.2一般迭代法2.2.1迭代法及收敛性对于有时可以写成形式如：16迭代法及收敛性考察方程。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的
2、根。 但如果给出根的某个猜测值，代入中的右端得到，再以为一个猜测值，代入的右端得反复迭代得17Steffensen加速收敛法概述由上式产生的序列称为Steffensen迭代序列。18Newton迭代法以此产生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解，称为Newton法，又叫切线法。192.4弦截法Newton迭代法有一个较强的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代。20弦截法令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x221弦截法第三章线性方程组的数值解法消元法求解线性方程组：Gauss消元法分解法求解线性方程组：LU分解法、Cholesky分解
3、法、追赶法23高斯顺序消去法设Ax=b.记A(1)=Ab(1)=b。设1、第一次消元。24高斯顺序消去法25高斯顺序消去法设第k-1次消元得A(k)x=b(k)其中26高斯顺序消去法则第k次消元:27高斯顺序消去法最后28高斯顺序消去法也就是对于方程组AX=b系数矩阵做：29高斯顺序消去法30高斯顺序消去法313.1.2高斯主元素消去法Gauss列主元消元法从第一列中选出绝对值最大的元素交换32高斯列主元消去法33高斯列主元消去法第k步从的第k列，，中选取绝对值最大项，记录所在行，即若交换第k行与l行的所有对应元素，再进行顺序消元。34D
4、oolittle分解35Doolittle分解36Doolittle分解37Doolittle分解38Doolittle分解39Doolittle分解40Cholesky分解的求法41Cholesky分解的求法42Cholesky分解的求法43三对角方程组求解的追赶法44三对角方程组求解的追赶法第四章函数逼近的插值法与曲线拟合法Lagrange插值法Newton插值法离散数据的曲线拟合464748显然Pn(x)为次数不超过n次的多项式，且满足插值条件。 故，Pn(x)为拉格朗日插值问题的解，称为拉格朗日插值多项式。构造函数Pn(x)：49
5、505152例4.5.3地球温室效应问题下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高解为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1(P119)从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系为决定参数α,β将上式改写成记则有这
6、是已知数据相应地变为如下表所示n1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:相应的t与n的指数型拟合曲线关系为就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求第五章数值积分与数值微分插值型求积公式，Newton-Cotes求积公式、定步长复化求积公式，复化梯形公式，复化Simpson公式，变步长复化求积公式，Romberg求积公式数值微分的中点公式，数值微分的Taylor展开法，数值微分
7、的插值法，数值微分的隐式格式常用的几个积分公式梯形公式(n=1)Simpson公式(n=2)Newton公式(n=3)Cotes公式(n=4)例题5.2.1定步长复化求积公式1.复化梯形求积公式一般地将[a,b]区间n等分，则2.复化Simpson公式类似于梯形公式：定步长复化Simpson求积公式算法变步长梯形求积公式变步长Simpson求积公式Romberg求积公式5.5.1Taylor展开式方法几种常用的求导公式第六章常微分方程数值解法显式Euler法，改进的Euler格式，龙格-库塔法，经典四阶龙格-库塔格式单步法的稳定性线性多步
8、法，四阶Adams显式公式、隐式公式6.1初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法初值问题的Euler方法6.1
