高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义.docx

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1、3.1.1　数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R中添加新数i，规定：(1)i2＝－1，其中i叫做虚数单位；(2)i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立．2．复数的相关概念集合C＝{a＋bi

2、a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数的集合C叫做复数集．复数通用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．3．复数的分类对于复数z＝a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当且仅当b≠0时，叫做

3、虚数；当a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi

4、a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等

5、式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．(　　)(3)bi是纯虚数．(　　)(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．做一做(1)若a＋bi＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(

6、a∈R)是实数，则a＝________.答案　(1)0　0　(2)0,1＋　(3)±1探究　　复数的有关概念例1　给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]　①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则ai不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数

7、集的并集．[答案]　0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立．【跟踪训练1】　下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是(　　)A．①B．②C．③D．④答案　D解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在

8、③中，若x＝－1，x2＋3x＋2≠0不成立，故③错误；④正确．探究　　复数的分类例2　当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解]　(1)当即m＝2时，复数z是实数；(2)当m2－2m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．[条件探究]　是否存在实数m，使z＝(m2－2m)＋i是纯虚数？[解]　由z＝(m2－2m)＋i是纯虚数，得解得m∈∅.即不存在实数m，使z＝(m2－2m)＋i是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a＋bi(a，b∈

9、R)的形式，实部与虚部分别为哪些；(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；(3)解相应的方程(组)或不等式(组)；(4)求出参数的值或取值范围．【跟踪训练2】　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z为实数？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？解　(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.探究　　复数相等例3　已知M＝{1

10、，(m2－